OA，¡!b = ¡! OB，¡!c = ¡! (1) ¡! (2) j ¡! 2 ¡ 1 (x ≧ 1) 上の

年番号
1
1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC があり，その辺 OA，AB，BC の中点をそれぞれ P，Q，R と
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
し， a = OA， b = OB， c = OC とおく．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) PR を a ; b ; c を用いて表せ．
¡!
(2) jPRj を求めよ．
4
座標平面上の 2 つの曲線 y =
下の問に答えよ．
氏名
1
x¡3
，y =
(x ¡ 1)(x ¡ 3) をそれぞれ C1 ，C2 とする．以
x¡4
4
(1) 2 曲線 C1 ，C2 の交点をすべて求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 の概形をかき，C1 と C2 で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) 4PQR の面積を求めよ．
（神戸大学 2015 ）
（名城大学 2013 ）
2
曲線 y =
B
x2 ¡ 1 (x = 1) 上の点 P(a; b) (a > 1) での接線と y 軸との交点を Q とする．次
5
袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が，それぞれ 5 個ずつ入っている．このとき，次の問に答
えよ．
の問に答えよ．
(1) 袋から 2 個を同時に取り出すとき，その 2 個が同じ色である確率は
(1) 点 Q の座標を b で表せ．
(2) PQ2 の最小値を求めよ．
ス
セソ
(2) 袋から 3 個を同時に取り出すとき，そのうち 2 個だけが同じ色である確率は
（琉球大学 2012 ）
(3) 袋から 3 個を同時に取り出すとき，取り出した 3 個の色がすべて異なる確率は
である．
タチ
ツテ
トナ
ニヌ
である．
である．
（青山学院大学 2011 ）
3
曲線 y =
e¡x
を C とし，n を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．
(1) 曲線 C 上の点 P(t; e¡t ) における接線が x 軸と交わる点を Q とする．点 Q の x 座標は
イ
である．
6
(2) 一般に，曲線 C 上の点 Pn が与えられたとき，この点 Pn における接線が x 軸と交わる点を Qn
三角形 ABC の頂点 A，B，C は反時計回りに並んでいるものとする．点 P はいずれかの頂点の
位置にあり，1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反
とし，点 Qn を通り，x 軸に垂直な直線と曲線 C の交点を Pn+1 とする．P1 (0; 1) から出発して，
時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点 P は最初，頂点 A の位置にあったとする．硬
Q1 ，P2 ，Q2 ，Ý のように点をとる．このとき，点 Qn の x 座標は
貨を n 回投げたとき，点 P が頂点 A の位置に戻る確率を an で表す．次の問いに答えよ．
ロ
である．
(3) 曲線 C，直線 Pn Qn および直線 Qn Pn+1 で囲まれた部分の面積を Sn とする．このとき，Sn =
ハ
(4)
1
P
n=1
である．
Sn =
ニ
(1) n = 2 に対し an を an¡1 を用いて表せ．
(2) an を求めよ．
である．
（大阪市立大学 2012 ）
（会津大学 2016 ）
7
1
1
1
，an+1 =
a + n
2
2 n
3
問いに答えよ．
a1 = ¡
(n = 1; 2; 3; Ý) で定められた数列 fan g について，次の
k
1
b を満たすとき，定数 k の値を求めよ．
(1) bn = an + n で定まる数列 fbn g が bn+1 =
3
2 n
(2) (1) で求めた k に対して，一般項 bn を求めよ．
1
P
(3) 一般項 an と
an を求めよ．
n=1
（神奈川大学 2014 ）
10 実数 p に対して 3 次方程式
4x3 ¡ 12x2 + 9x ¡ p = 0
ÝÝ1
を考える．
(1) 関数 f(x) = 4x3 ¡ 12x2 + 9x の極値を求めて，y = f(x) のグラフをかけ．
(2) 方程式 1 の実数解のなかで 0 5 x 5 1 の範囲にあるものがただひとつであるための p の条件
を求めよ．
（北海道大学 2006 ）
8
次の漸化式で定義される数列 an (n = 1; 2; Ý) について，次の問いに答えよ．
a1 = 0;
a2 = 1;
11 次の 7 文字をすべて使って文字列を作る．
an+2 ¡ 5an+1 + 6an = 0
R
Y
U
K
O
K
U
(1) 数列 bn ; cn を bn = an+1 ¡ 2an ; cn = an+1 ¡ 3an と定義するとき，bn ; cn の満たす漸化式を
求めよ．
(1) 全部で何通りの文字列を作ることができるか求めなさい．
(2) 数列 bn ; cn の一般項を求めよ．
(2) U と U が隣り合わせにならないような文字列が何通りあるか求めなさい．
(3) 数列 an の一般項を求めよ．
(3) O が少なくとも 1 つの U と隣り合うような文字列が何通りあるか求めなさい．
（東北学院大学 2012 ）
（龍谷大学 2012 ）
12 次の問に答えよ．
9
f(x) = x2 + 2x と g(x) = ¡x2 + 12 について，次の問いに答えよ．
(1) 次の等式が成り立つことを示せ．
Z
(1) y = f(x) の最小値を与える x の値を求めよ．
¯
®
(2) y = f(x) のグラフの概形をかけ．
(3) y = f(x) と y = g(x) の交点を求めよ．
(x ¡ ®)(x ¡ ¯) dx = ¡
1
(¯ ¡ ®)3
6
(2) 放物線 y = x2 + px + q を C1 とし，放物線 y = ¡x2 を C2 とする．C1 は直線 y = 2x 上に
(4) y = f(x) と y = g(x) で囲まれた部分の面積を求めよ．
頂点をもち，C2 と相異なる 2 点で交わるとする．C1 と C2 で囲まれる部分の面積が最大となる
（大阪工業大学 2009 ）
実数 p; q の値と，そのときの面積を求めよ．
（琉球大学 2009 ）
13 座標平面の x 軸の正の部分にある点 A と y 軸の正の部分にある点 B を考える．原点 O から点
A，B を通る直線 ` におろした垂線と，直線 ` との交点を P とする．OP = 1 であるように点 A，
B が動くとき，次の問に答えよ．
(1) µ = ÎAOP とするとき，OA + OB ¡ AB を cos µ と sin µ で表せ．
(2) OA + OB ¡ AB の最小値を求めよ．
（琉球大学 2009 ）

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