1(C(n + 1)(n + 3) ¡ Cn(n + 2))

1
次の問いに答えなさい．
(1) 次の極限を求めなさい．
C
C
lim ( (n + 1)(n + 3) ¡ n(n + 2))
n!1
(2) 複素数平面上の 2 点 ® = 4 ¡ 2i; ¯ = 3 ¡ 3i に対して，次の問いに答えなさい．
‘ 点 ® を点 ¯ の周りに 30± 回転した点を表す複素数 ° を求めなさい．
’ ¯6 の値を求めなさい．
(3) 三角形 ABC があり AB = 5，AC = 3，cos ÎBAC =
BC の交点を H とする．
¡! ¡! ¡!
‘ ベクトル AH を AB と AC を用いて表しなさい．
’ 線分 AH の長さを求めなさい．
1
とする．点 A から辺 BC へ下ろした垂線と辺
3
2
次の問いに答えよ．
(1) r を r < 1 である実数とする．自然数 n に対して
Sn = 1 + 2r + 3r2 + Ý + nrn¡1
とおく．
S = lim Sn
n!1
を r の式で表せ．ただし r < 1 のとき lim nrn = 0 であることを用いてよい．
n!1
(2) n を自然数とする．2 人の弓道部員 A，B が矢を的に命中させる確率は，A が
4
1
，B が
である．A，B
5
2
が的に向かってそれぞれ n 回ずつ矢を射る．
‘ n = 1 のとき，A の射る矢が命中する確率を p1 とし，A の射る矢が命中せずに B の射る矢が命中す
る確率を q1 とする．p1 + q1 を求めよ．
’ n = 2 のとき，1 回目から (n ¡ 1) 回目まで A の射る矢も B の射る矢も命中せず，n 回目に A の射る
矢が命中する確率を pn とする．pn を求めよ．
“ n = 2 のとき，A の射る矢は 1 回目から n 回目まで命中せず，B の射る矢は 1 回目から (n ¡ 1) 回目ま
で命中せずに n 回目のみ命中する確率を qn とする．qn を求めよ．
(3) (2) で求めた pn (n = 1; 2; 3; Ý) に対して
E=
1
P
(2n ¡ 1)pn
n=1
とおく．E の値を求めよ．
3
図のように，点 O を中心とし，線分 AB を直径とする半径 1 の半円において，円周上に点 P をとり，ÎPOA =
¼
µ とし，点 P における接線が線分 OA の延長と交わる点を H とする．ただし，0 < µ <
とする．さら
2
に，線分 OA 上に ÎOPB = ÎOPD となるように点 D をとる．
(1) AP =
ア
(2) lim
AP
=
µ
(3) lim
AH
=
µ2
µ!+0
µ!+0
(4) lim OD =
µ!+0
sin
ウ
エ
オ
カ
キ
µ
イ
である．
である．
である．
である．
4
10
¡ log x に対して an = f(n) (n = 1; 2; 3; Ý) で定められる数列 fan g を考え
x
る．次の問いに答えよ．
関数 f(x) = 2x +
(1) lim (an+1 ¡ an ) を求めよ．
n!1
(2) an が最小となる n を求めよ．
5
0 < µ < ¼ とする．単位円の周上の 3 点 A(1; 0)，B(cos µ; sin µ)，C(cos 2µ; sin 2µ) を頂点とする
4ABC の面積を µ を用いて表せ．また，4ABC の面積の最大値とそのときの µ の値を求めよ．
6
n を自然数とする．関数 f(x) = ex sin x の n 次導関数 f(n) (x) について，次の等式がなりたつことを，数
学的帰納法を用いて証明せよ．
n
f(n) (x) = 2 2 ex sin #x +
n¼
;
4
7
関数 f(x) = cos x ¡ 1 +
x2
について，次の各問いに答えよ．
2
(1) 導関数 f0 (x) および 2 次導関数 f00 (x) をそれぞれ求めよ．
(2) x = 0 において f0 (x) = 0 および f(x) = 0 が成り立つことを示せ．
5
を示せ．
(3) f(x) の定積分を利用して sin 1 =
6
8
以下の問いに答えよ．
1
2
(1) y = xe¡ 2 x (¡2 5 x 5 2) の増減および極値を調べ，このグラフの概形をかけ．
Z1
1 2
(2)
xe¡ 2 x dx を求めよ．
0
9
次の問いに答えなさい．
(1) 次の方程式を解きなさい．
B
5 ¡ 2x ¡ x + 2 = 0
(2) 次の不等式を満たす t の範囲を log10 2 を用いて求めなさい．
t
1 30
1
# ; <
2
10
(3) 次の関数を微分しなさい．
y = x2 loge x
(4) 次の定積分の値を求めなさい．
Z
1
0
1
2
xe¡ 2 x dx
10 次の問いに答えよ．
1
1
¡
のグラフの概形をかけ．
x¡1
x
Z2 B
(2) 定積分
x 2 ¡ x dx を求めよ．
(1) 関数 y =
1
11 a > 0 とし，座標平面上の点 A(a; 0) から曲線 C : y =
1
に引いた接線を ` とする．このとき，次の問
x
に答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 `，および直線 x = a で囲まれた部分の面積を求めよ．

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