解答例

３３．
フーリエ級数法（窓関数法）により下記の仕様を満⾜する FIR 低域通過フィルタを設計する．以下
の問に答えよ．
仕様：サンプリング周期 T=0.01[秒]，
カットオフ周波数 fc = 20 [Hz]，
インパルス応答⻑（タップ⻑）N=2K+1=7
(a)
理想振幅特性
1    c
でのカットオフ⾓周波数 Ωc を求めよ．
H I ( )  
 0 その他
遮断各周波数Ωc は，   T
あるいは
(b)
より
2 : f s   c : 20
より
 c  2  20  0.01  2 / 5
 c  20  2 100  2 / 5
HI(Ω)のフーリエ級数展開により，理想的なフィルタのインパルス応答 h(n)を求めよ．ただし，位
相特性 Arg [HI(Ω)]=0 とする．
1
h( n ) 
2

1
H I ()e jn d 

2

(c) 矩形窓関数( wR(n)=1
2n
2n
2 / 5
sin
2 j sin
jn 

e
2
1
1
5
5 

e jn d 


 2 / 5
jn
5 2n
2  jn 
2
 2 / 5
5

2 / 5
|n| <=K; wR(n)=0
|n| >K)をかけた後，時間軸⽅向に３点シフトして得
られる hR(n) (n=0,1,..,6)を求めよ．
2
hR (n)  wR (n  3)h(n  3) 
5
(-∞<n<∞)
2 (n  3)
5
(n=0,1,..,6)
2 (n  3)
5
sin
(e) (c)で得たフィルタの周波数特性を求めよ．
6
2

H R ()   h( n)e  jn  h(3)   h(i )e j ( 3i )   h(6  i )e  j ( 3i ) 
n 0
i 0


h(i)=h(6-i) (i=0, 1, 2)あるので
1
e

 j 3
2

H R ()  h(3)   h(i ) e j ( 3i )   e  j ( 3i ) 
i 0


e
 j 3

2
2

sin{2(i  3) / 5}
cos(3  i ) e  j 3
   2
(i  3)
i 0
5

振幅特性，位相特性は次⾴の図の通り．
amplitude
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2.5
3
3.5
angular frequency
5
phase
0
-5
-10
0
0.5
1
1.5
2
angular frequency
2

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