基礎力学 (月曜３限) 試験問題 (2014.8.4) 注意： • 原則として１、２を解答せよ。１、２で合格点に達しない者は、３を解答していれば適宜加点するが、その場合の点は６０点を超えない。 • １は１枚目の解答用紙、２は２枚目の解答用紙、３を解答する場合は１枚目の裏を用いよ。 • 解答用紙の裏を使う場合は表の最下部にその旨を大きく明記すること。指示に従っていない答案については正しく採点・集計されないことがある。 • 整理の都合上、白紙でも氏名・学籍番号・問題番号を記入して提出すること。 1. 次の問に答えよ。（a） x 軸上を運動する質量 M の質点に力 F(t) = F0 cos ωt が働いている。このとき、時刻 t(> 0) dx を求めよ。ただし、F0 、 ω は定数であり、t = 0 ではにおけるこの質点の変位 x、速度 dt dx x= = 0 とする。 dt α0 2 （b）位置 r = (x, y, z) におけるポテンシャルが U(r) = (x + y2 + z2 ) , (α0 は定数) で与えられる 2 とき、位置 r での力 F(r) を求めよ。（c） x 軸の正の部分 (x ≥ 0) を運動する質量 M の質点に働く力 F(x) が F(x) = ax − bx2 で与えられるとき、安定なつりあいの点 x0 、および x0 の近傍での微小振動の周期 T を求めよ。ただし、a, b は正の定数とする。 2. なめらかで水平な平板上にある質量 m の質点に糸が結び付けられ、その糸の先は平板にあけられた穴から下にぶら下がっている。はじめ、糸はピンと張っており質点は平板上で一定の角速度 ω で半径 r0 の円運動をしているとする。穴の位置を原点とし、原点を通り水平面に垂直な軸を z 軸とする。（a）時刻 t における質点の位置ベクトルは r = (r0 cos(ωt), r0 sin(ωt), 0) と表せるとする。このとき、以下の物理量の表式を求めよ。 i. ii. iii. iv. v. vi. 速度ベクトル u 運動量ベクトル p 加速度ベクトル a 運動エネルギー E 角運動量ベクトルの z 成分 (z 軸廻りの角運動量)Lz 糸が質点を原点に向かって引っ張る力（張力）T の大きさ。具体的に、m = 0.2[kg]、r0 = 0.6[m]、ω = 5.0[rad/s] とする。（b）この状態での運動エネルギーの値を求めよ。（c）この状態での角運動量の z 成分の値を求めよ。この状態から糸をゆっくり引っ張って、水平部分の長さを 0.3[m] まで縮め、この半径で一定の角速度で円運動をするようにした。（d）このときの角速度はいくらになったか。（e）最後の状態での、運動エネルギーはいくらか。最初の値と比べて変化したなら変化の原因、変化がなければその理由を説明せよ。（f）最後の状態での、角運動量の z 成分の値はいくらか。最初の値と比べて変化したなら変化の原因、変化がなければその理由を説明せよ。 3. 本講義で学んだ概念から２つを取り上げ、適宜、数式や図を用いてわかりやすく説明せよ。