相対論期末試験問題 (2012 年度後期) 2013. 2. 7 以下の問題で，c は

相対論期末試験問題 (2012 年度後期)
2013. 2. 7
以下の問題で，c は真空中の光速を表す定数である．また，エネルギーや運動量と言っ
たときには，それらはすべて特殊相対論での量である．
問題 1. 次の問に答えよ．
（配点予定：20 点）
(1) 質量 m の粒子が速度 v で運動している．このときの粒子の運動量 p を m，v ，c を
使って表せ．
(2) x 軸上を運動する二つの粒子 A, B が正面衝突をした．衝突により二つの粒子は合体
して一つの粒子 C になった．粒子 A, B の質量は等しく，どちらも m である．衝突
前の粒子の速さは，どちらも v であった．粒子 C の質量 M を求めよ．
(3) (ct, x) をある慣性系の時空座標とする．横軸を x，縦軸を ct とする時空図上に，次
の世界線を描け（同じ時空図上に描くこと．1 光秒単位で目盛りを入れること)．
鏡Ｍ：+x 方向に速さ c/2 で運動している．
ただし，時刻 t = 0 では x = 0 を通る．
光Ｌ：x = 0 にある光源から時刻 t = 1 秒に +x 方向に発射される．
その後，鏡Ｍで反射されて x = 0 のところまで戻ってくる．
(4) 空間の運動量ベクトル p の３成分に加えて第四の成分（第ゼロ成分，時間成分）を
考えると，Minkowski 時空の 4 次元ベクトルである 4 次元運動量ベクトル pµ とな
る．この第ゼロ成分 p0 とは何か？（物理量としての) 次元にも注意すること．
問題 2. （配点予定：20 点）
(ct, x) を慣性座標系 S の座標とする．S 系に対して x 軸方向正の向きに速度 v で運動し
ている慣性座標系を S0 とし，その座標を (ct0 , x0 ) とする．S の空間原点 x = 0 と S0 の空間
原点 x0 = 0 とは，t = t0 = 0 で一致していたとする．これらの座標の間には次のローレン
ツ変換が成り立つ：
{ 0
x = γ(x
( − vt),
v )
0
t = γ t − 2x ,
c
あるいは，
{
0
0
x = γ(x
), )
( + vt
v
t = γ t0 + 2 x0 .
c
√
ここで，γ は，γ = 1/ 1 − v 2 /c2 で与えられる量である．
以下の問題にローレンツ変換にもとづいて答えよ．
(5) S0 系において，空間の一点 x0 = a に静止している時計がある．この時計が時刻 t0 = t01
から t0 = t01 + τ まで進む間に S 系では t = t1 から t = t1 + T まで時間が経過した．
比 τ /T を求めよ．
(6) S 系からみて +x 方向に速さ v で運動している 2 個の粒子 A, B がある．A, B は L の
間隔を維持して x 軸上を運動している．それぞれの運動は，
質点 A: x = vt
質点 B: x = vt + L
で表される．
粒子 A, B と同じ速度で運動をする観測者（S0 系）から見ると，A, B 間の距離は L0
であるとする．比 L0 /L を求めよ．
(7) S0 系に対して x0 方向に速度 u (= dx0 /dt0 ) で運動している物体がある．S 系からみた
この物体の速度を V (= dx/dt) とする．V を u と v で表す式を導出せよ．
(8) S 系において，時刻 t，位置 x における振幅が A sin(ωt − kx) で表される波動がある
(A, ω, k は定数)．S0 系にとっては，この波は A sin(ω 0 t0 − k 0 x0 ) と観測される．波の
位相（今の場合，sin の中にある量）がローレンツ不変であることを使って，ω 0 を ω
と k を使って表せ．
また，電磁波の場合は k = ω/c が成り立つ．この場合に，比 ω 0 /ω を求めよ．
答案用紙の使い方：解答は表の面だけにお願いします．裏面は見ません．

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