量子力学演習 June 2, 2015 7 角運動量基礎事項角運動量演算子軌道角運動量に対応するエルミート演算子   ∂    ∂  y ∂z − z ∂y Lx ypz − zpy ¯ h ∂ ∂  L = r × p =  Ly  =  zpx − xpz  =  z ∂x − x ∂z i ∂ ∂ Lz xpy − ypx x ∂y − y ∂x (1) の 3 成分は交換関係 [Lx , Ly ] = i¯hLz , [Ly , Lz ] = i¯hLx , [Lz , Lx ] = i¯hLy (2) を満たす. 演算子 L2 = L2x + L2y + L2z は Lx , Ly , Lz の全てと交換する. 極座標表示 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ を用いて角運動量演算子を表すと L± L2 { } ∂ i ∂ ≡ Lx ± iLy = ¯h e ± + , ∂θ tan θ ∂ϕ } { ∂ 1 ∂2 1 ∂ = −¯ h2 sin θ + . sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 ±iϕ Lz = −i¯h ∂ , ∂ϕ (3) 球面調和関数 L2 と Lz の同時固有関数を球面調和関数 Yℓm (θ, ϕ) と呼ぶ: L2 Yℓm (θ, ϕ) = ¯h2 ℓ(ℓ + 1) Yℓm (θ, ϕ), Lz Yℓm (θ, ϕ) = ¯h m Yℓm (θ, ϕ). その具体形は上の微分方程式に対する 1 価で規格化可能な解 Yℓm (θ, ϕ) = Pℓm (τ ) = |m| (cos θ) eimϕ , ℓ = 0, 1, 2, . . . , m = ℓ, ℓ − 1, · · · , −ℓ, ( )ℓ+m 1 d 2 m/2 (1 − τ ) (τ 2 − 1)ℓ : 陪 Legendre 関数 2ℓ ℓ! dτ Am ℓ Pℓ で与えられる. L2 の固有値 ¯ h2 ℓ(ℓ + 1) に属する固有状態は 2ℓ + 1 重に縮退している. 11 (4) √ 規格化定数を Am ℓ (m+|m|)/2 = (−1) ∫ 2ℓ + 1 (ℓ − |m|)! ととると球関数は以下の性質を満たす: 4π (ℓ + |m|)! ∫ 2π 正規直交性 : 0 完全性 : sin θ π ∗ ′ dθ sin θ (Yℓm (θ, ϕ)) Yℓm ′ (θ, ϕ) = δℓℓ′ δmm′ dϕ 0 ∞ ∑ ℓ ∑ ∗ (Yℓm (θ, ϕ)) Yℓm (θ′ , ϕ′ ) = δ(θ − θ′ )δ(ϕ − ϕ′ ). ℓ=0 m=−ℓ 角運動量の固有関数である球面調和関数 (球面波)Yℓm (θ, ϕ) のこれらの性質は, 運動量の固有関数である平面波 eikx の性質 (Fourier 変換の反転公式, §2) と平行している. 演習問題 1 以下の問いに答えよ． i. 基礎事項 (2) 式を示せ． ii. 基礎事項 (2) 式を用いて，昇降演算子 L± = Lx ± iLy が交換関係 [Lz , L± ] = ±¯hL± , [L+ , L− ] = 2¯hLz を満たすことを示せ. iii. Yℓm (θ, ϕ) が基礎事項 (4) 式を満たすとき，前問 ii. の交換関係を用いて，L± Yℓm (θ, ϕ) について L2 に対する固有値が ¯h2 ℓ(ℓ + 1), Lz に対する固有値が ¯h(m ± 1) となること（L± Yℓm (θ, ϕ) は L2 と Lz の同時固有関数となっている）を示せ． ※ L± が昇降演算子と呼ばれるのは，L± Yℓm の Lz に対する固有値が ¯ h(m±1) となり，L± Yℓm ∝ m±1 Yℓ となるためである． 2 Yℓℓ (θ, ϕ) が，L2 と Lz に対する固有値がそれぞれ ¯h2 ℓ(ℓ + 1) と ¯hℓ となる，L2 と Lz の同時固有関数であるとする. 角運動量演算子の極座標表示 (基礎事項 (3) 式) を用いて, i. 固有値方程式 Lz Yℓℓ (θ, ϕ) = ¯hℓ Yℓℓ (θ, ϕ) を微分方程式として解いて， Yℓℓ (θ, ϕ) = Θ(θ) eiℓϕ を示せ. ii. Lz の固有値は ¯ hℓ 以上に上げられないことを表す式 L+ Yℓℓ (θ, ϕ) = 0 を微分方程式として解いて， Yℓℓ (θ, ϕ) ∝ sinℓ θ eiℓϕ を示せ. 3 前問題の続き. i. ℓ = 1 とおいた関数 Y11 に演算子 L− を繰り返し作用させることにより, Y10 および Y1−1 を求めよ. ただしそれらの規格化定数を決定する必要はない. ii. 上で構成した関数 Y1−1 に演算子 L− を作用させることにより, L− Y1−1 = 0 を示せ. −1 1 0 0 iii. これら３つの関数 . √ √ Y1 , Y1 , Y1 , および Y0 ∝ 1 の間の直交性を確かめよ 3 3 sin θeiϕ ，および，Y10 (θ, ϕ) = cos θ が各々規格化されていること iv. Y11 (θ, ϕ) = − 8π 4π を確かめよ． 12