定数係数非斉次 2-LDE flow chart GF @Ay ′′ + ay ′ + by = R(x)ED BC / y ′′ + ay ′ + by = 0 の一般解 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 特性方程式 λ2 + aλ + b = 0 • 2 つの実数解 α, β =⇒ C1 eαx + C2 eβx • 重解 α =⇒ (C1 + C2 x)eαx • 虚数解 p ± qi =⇒ epx (C1 cos qx + C2 sin qx) ′′ ′ y + ay + by = R(x) の 1 つの解 O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ R(x) が多項式 or R(x) が三角関数 or R(x) が指数関数 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • R(x) が多項式のとき, 同じ次数の多項式で予想する. R(x) = 2x =⇒ R(x) = 3x2 − 2 y = Ax + B =⇒ y = Ax2 + Bx + C 等 • R(x) が三角関数のとき, y = A cos qx + B sin qx と予想する. それで上手くいかないときは, y = x(A cos qx + B sin qx) と予想する. • R(x) が指数関数のとき, y = Aeαx と予想する. それで上手くいかないときは, y = Axeαx と予想する. それでも上手くいかないときは, y = Ax2 eαx と予想する. • R(x) がそれ以外のときは, 上手く予想する. 例 1: y ′′ − 2y ′ − 15y = 2e−3x y ′′ − 2y ′ − 15y = 0 の一般解は, y = C1 e−3x + C2 e5x —– (a) y = Axe−3x と予想して 1 つの解を求める. y = Ae−3x としたいが, (a) の中に e−3x があるので上手くいかない. 例 2: y ′′ + 9y = 3 sin 3x y ′′ + 9y = 0 の一般解は, y = C1 cos 3x + C2 sin 3x —– (b) y = x(A cos 3x + B sin 3x) と予想して 1 つの解を求める. y = A cos 3x + B sin 3x としたいが, (b) の中に cos 3x, sin 3x があるので上手くいかない. 例 3: y ′′ + 6y ′ + 9y = 5e−3x y ′′ + 6y ′ + 9y = 0 の一般解は, y = (C1 + C2 x)e−3x = C1 e−3x + C2 xe−3x —– (c) y = Axe−3x と予想して 1 つの解を求める. e−3x , xe−3x が (c) の中にあるので, y = Ae−3x や y = Axe−3x では上手くいかない.