微分積分学 II 期末試験 2012. 2. 7 工学部建築学科学籍番号 1. 次の 2 重積分の指定された集合 D 上での値を求めよ. ∫∫ (1) xy 2 dx dy, D = { (x, y) | 0 x 1, 0 y （各 5 点）氏名模 2. 次の 2 重積分 ∫∫ 1 dx dy, I= x + 1 D 2} D D= { 範 (x, y) | x + y 解 2, y 答 x2 , x 0 } に対して, 次の問に答えよ. (1) 集合 D を図示せよ. （5 点） (答) (答) y y = x2 ∫ ∫ 1 (与式) = 0 2 2 y 2 dy x dx 0 ]1 [ 3 ]2 y x = · 2 0 3 0 = 1 · 8 2 3 = 4 3 [ 2 y = −x + 2 O x 1 (2) I を最初に y に関して積分する累次積分で表し, その 2 重積分の値を求めよ（x 優先の表示をして累次積分せよ）. （10 点） (答) ∫∫ (2) { sin(x + 2y) dx dy, D= (x, y) | 0 D x y, 0 y π 2 x 優先で D を表示すると, } D : 0 1, x2 x y −x + 2 従って, ∫ 1 I= π 2 (与式) = ∫ 0 [ 0 = = 0 1 x+1 x2 1 −x + 2 − x2 dx x+1 0 ∫ 1{ } = −x + 2 dx x+1 0 [ ]1 2 x = − + 2 log(x + 1) 2 0 1 = 2 log 2 − 2 y 0 π 2 ∫ 1 1 dy x+1 [ ]−x+2 dx y = dy sin(x + 2y) dx 0 0 ]y ∫ π2 [ = − cos(x + 2y) dy ∫ 0 −x+2 x2 = (答) ∫ ∫ ∫ dx {− cos(3y) + cos(2y)} dy sin(2y) sin(3y) − 2 3 ] π2 0 sin 32 π − sin 0 = sin π − sin 0 − 2 3 1 = 3 (3) (2) の累次積分の順序を変更せよ. その値は計算しなくともよい. （5 点） (答) ∫ √ y dy 0 1 ∫ 1 I= 0 1 dx + x+1 ∫ ∫ 2 dy 1 0 −y+2 1 dx x+1 微分積分学 II 期末試験 ∫ 3. 累次積分 ∫ 1 dy 0 1 √ 学籍番号氏名 4. 次の 2 重積分 ∫∫ (x − 2y)2 dx dy, e−x dx の積分順序を変更して値を求める. 次の問 3 y に答えよ. 模範解答 D = { (x, y) | |x + y| 1, |2x − y| 2} D (1) 与えられた累次積分の積分順序を変更せよ. （5 点）の値を, 変数変換して求める. 次の問に答えよ. (1) 適当な変数変換によって集合 D が移る集合 Ω を求めよ. （5 点） (答) x 優先の表示に変更すると, 0 x 1, 0 x2 y であるから, 積分の順序を変更すると, ∫ ∫ 1 (与式) = x2 dx 0 (答) { x+y =u 2x − y = v と変数変換する. このとき, 対応する Ω は, Ω : |u| e−x dy 3 0 Ω : −1 u 1, −2 v 1, |v| 2, 即ち, 2 である. (2) (1) で求めた累次積分の値を計算することで与えられた累次積分の値を求めよ. （10 点） (2) その変換の Jacobian J を求めよ. (答) ∫ (与式) = x2 dx ∫ 0 = ∫ 0 [ 0 e−x dy 3 u+v 3 2u−v 3 . 従って, 0 (1 [ ]x2 1 −x3 e y dx J = det 0 1 = = ∫ 1 (答) { x= より, y= { x+y =u 2x − y = v （5 点） 3 1 3 2 3 − 13 ) =−1 − 2 =−1 9 9 3 x2 e−x dx 3 3 − 1 e−x 3 ]1 0 −1 0 =−e −e 3 e − 1 = 3e (3) (1) と (2) を用いて与えられた 2 重積分の値を求めよ. （5 点） (答) (与式) = = (答) = 注意：問題の領域は, 以下の通り. y x= √ = y = 1 O = 1 = x 2 ∫∫ { } u + v − 2 · 2u − v 2 − 1 du dv 3 3 3 Ω ∫ 2 ∫ 1 2 1 dv (−u + v) du 3 −2 −1 ]1 ∫ 2[ (−u + v)3 1 − dv 3 −2 3 −1 ∫ 2 { } 1 −(v − 1)3 + (v + 1)3 dv 9 −2 [ ] 4 4 2 1 (v + 1) − (v − 1) 9 4 4 −2 { 1 (34 − 14 ) − ((−1)4 − (−3)4 )} 36 162 − 2 = 40 36 9 微分積分学 II 期末試験学籍番号 { } 1 5. 関数 f (x, y) = √ の領域 D = (x, y) | x2 + y 2 < 2 に 2 − x2 − y 2 おける 2 重積分の値を求める. 次の問に答えよ. { } (1) Dn = (x, y) 0 x2 + y 2 2 − 1 (n = 1, 2, . . . ) n とおく. 関数 f (x, y) の領域 Dn 上における 2 重積分の値を求めよ. （10 点） ∫ 0 ∫ 1 dx x+y (xy − z 2 ) dz dy x y ]x+y 3 dy xyz − z 3 y 0 x } ∫ 1 ∫ 1{ (x + y)3 − y 3 = dx dy xy(x + y − y) − 3 0 x } ∫ 1 ∫ 1{ 3 = dx − x − xy 2 dy 3 0 x ]1 ∫ 1[ 3 xy 3 x y = − − dx 3 3 x 0 } ∫ 1{ 3 4 4 = −x −x − x−x dx 3 3 0 ∫ 1 { 4 } = 1 2x − x3 − x dx 3 0 [ ]1 4 4 2 2x x x 1 − − = 3 5 4 2 0 { } = 1 2 − 1 − 1 3 5 4 2 7 =− 60 ∫ θ ∫ 1 V = と極座標変換すると, Dn に対応する Dn は, r （10 点） (答) 2π 従って, ∫∫ f (x, y) dx dy ∫∫ √ 1 · r dr dθ = 2 − r2 Dn ∫ 2π ∫ √2− n1 √ r = dθ dr 2 − r2 0 0 ]√2− n1 [ ]2π [ √ = θ · − 2 − r2 0 0 √ ) ( √ 1 = 2π 2− n Dn (2) (1) で求めた 2 重積分の値を用いて f (x, y) の D における 2 重積分の値を求めよ. （5 点） ∫ 1 = √ 2− 1 , 0 n 模範解答 (2) V の値を求めよ. (答) { x = r cos θ y = r sin θ Dn : 0 氏名 1 [ dx 7. 曲面 z = xy の x2 + y 2 1 の部分の曲面積 S を求めよ. (答) (答) (1) より, ∫∫ ∫∫ f (x, y) dx dy = lim n→∞ D = lim 2π n→∞ √ = 2 2π zx = y, zy = x より, f (x, y) dx dy Dn ( √ √ 2− 1 n 1 + (zx )2 + (zy )2 = 1 + x2 + y 2 ) よって, S= ∫∫ √ 1 + x2 + y 2 dx dy, D : x2 + y 2 D 極座標変換すると, D は D : 0 6. 次の 3 重積分 ∫∫∫ V = (xy − z 2 ) dx dy dz, x y 1, y z ∫ x+y} = (1) このときの xy 平面上の領域 D を図示せよ. D 2π ∫ dθ 0 （5 点） (答) y y=x 1 1 θ 2π 1 r 0 √ 1 + r2 dr [ ]2π [ ]1 1 2 32 = θ · (1 + r ) 3 0 0 { √ } 1 2 2−1 = 2π · 3 √ 4 2−2 π = 3 の値を最初に z に関して積分することで求める. 次の問に答えよ. O 1, 0 と対応する. よって, ∫∫ √ S= 1 + r2 · r dr dθ E E = { (x, y, z) | 0 r x 3 1 （10 点）