量子力学１ 理論演習 レポート１０
参照 ( http://www2-tap.scphys.kyoto-u.ac.jp/~hotoke/2011QMex1/index.htm)
問題 3 は必須
1
(2011/07/07 実施予定)
調和多項式
Laplace 方程式
3
∑
∂ 2 f (r)
=0
∆f (r) ≡
2
∂x
a
a=1
(
r = (x1 , x2 , x3 )
)
(9.1.1)
の解で，3 変数 x1 , x2 , x3 の l 次の同次多項式であるものを，l 次 調和多項式 (harmonic poly-
nomial) あるいは l 次 体球調和関数 (solid harmonics) という．l = 0, 1, 2 の場合，たとえば
次のものが線形独立な l 次調和多項式になっている：
l = 0：f (r) = 1
(9.1.2)
l = 1：f (r) = x1 , x2 , x3
(9.1.3)
l = 2：f (r) = x21 − x22 , x22 − x23 , x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 .
(9.1.4)
(1) l 次の同次多項式 f (r) は一般に
f (r) =
∑
cr1 r2 r3 xr11 xr22 xr33
r1 +r2 +r3 =l
=
∑
fa1 a2 ···al xa1 xa2 · · · xal
(
fa1 a2 ···al ：添字について完全対称
)
(9.1.5)
a1 , a2 ,··· , al
の形に書ける．これがさらに Laplace 方程式を満たすためには，トレースレスであること (つ
まり任意の 2 つの添字の縮約について fa1 ···al が消えること) が必要十分であることを示せ：
∆f (r) = 0 ⇐⇒
3
∑
fa a a1 ···al−2 = 0.
(9.1.6)
a=1
(2) l 次調和多項式 f (r) の集合は関数空間の中で (2l + 1) 次元の部分線形空間を作ることを
示せ．
(3) 演算子
(
∂ )
∂
− x3
,
ℓˆ1 ≡ −i x2
∂x3
∂x2
(
∂
∂ )
ℓˆ2 ≡ −i x3
− x1
,
∂x1
∂x3
1
(
∂
∂ )
ℓˆ3 ≡ −i x1
− x2
∂x2
∂x1
(9.1.7)
が Laplacian と交換することを示せ：
[
]
∆, ℓˆa = 0
(a = 1, 2, 3).
(9.1.8)
また，ℓˆa が調和多項式を同じ次数の調和多項式にうつすこと，つまり，f (r) が l 次調和多項
式なら ℓˆa f (r) (a = 1, 2, 3) も l 次調和多項式になること，を示せ．
(4)
ℓˆ± ≡ ℓˆ1 ± i ℓˆ2
(9.1.9)
とおくとき，次が成り立つことを示せ：
[
]
ℓˆ3 , ℓˆ± = ± ℓˆ± .
(9.1.10)
(5) ζ ≡ x1 + i x2 ，ζ ∗ ≡ x1 − i x2 とおけば，
∂
∂
,
ℓˆ+ = 2x3 ∗ − ζ
∂ζ
∂x3
∂
∂
ℓˆ− = −2x3
+ ζ∗
,
∂ζ
∂x3
∂
∂
ℓˆ3 = ζ
− ζ∗ ∗
∂ζ
∂ζ
(9.1.11)
となることを示せ．
(6) fl, l (r) ≡ ζ l = (x1 + i x2 )l とおくとき，次が成り立つことを示せ：
ℓˆ3 fl, l (r) = l fl, l (r).
(9.1.12)
( )l−m
(7) l 以下の整数 m に対して fl, m (r) ≡ ℓˆ−
fl, l (r) とおくとき，次が成り立つことを示せ：
ℓˆ3 fl, m (r) = m fl, m (r).
( )
fl, −l (r) ∝ ζ ∗ l ,
ℓˆ− fl, −l (r) = 0.
(9.1.13)
(9.1.14)
fl,m (r) は |m| ≤ l の範囲にある限り 0 とならない．したがって，この (2l + 1) 個の {fl,m (r)}
(m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l) を，l 次調和多項式全体が作る (2l + 1) 次元線形空間の基底と
して選ぶことができ，任意の l 次調和多項式は fl,m (r) で展開される：
f (r) =
l
∑
cm fl, m (r)
(9.1.15)
m=−l
また，以上の議論から，ℓˆ3 の固有値 m に縮退がないことが分かる．
(8) l = 0, 1, 2 の場合に具体的に fl,m (r) (m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l) を求めよ．ただし規
格化は問わない．
(9) パリティ変換 r → −r のもとで，l 次調和多項式は (−1)l のパリティをもつことを示せ：
f (r)：l 次調和多項式 =⇒ f (−r) = (−1)l f (r).
2
(9.1.16)
球面調和関数 (1)
2
r = (x1 , x2 , x3 ) を極座標 (r, θ, φ) を用いて表せば，
x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ
(
)
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π
(9.2.1)
となる．このとき，l 次調和多項式 f (r) は
f (r) = rl y(θ, φ)
(9.2.2)
の形に書き直されるが，このようにして得られる y(θ, φ) のことを l 次 球面調和関数 (spherical
1
harmonics) という．
(1) Laplacian が
∂2
2 ∂
ℓˆ2
∆= 2 +
− 2,
∂r
r ∂r
r
3
[ 1 ∂ (
∑
∂)
1
∂2 ]
ℓˆ2 ≡
ℓˆa2 = −
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
a=1
(9.2.3)
(9.2.4)
と書けることを用いて，y(θ, φ) が次の微分方程式を満たすことを示せ 2 ：
ℓˆ2 y(θ, φ) = l(l + 1) y(θ, φ).
(9.2.5)
(2) 方程式 (9.2.5) を変数分離して解き，l 次球面調和関数が作る線形空間の基底として
(m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l)
Pl m (cos θ) eimφ
(9.2.6)
が取れることを示し，これが同時に，ℓˆ3 に関する固有値 m の固有関数になっていることを
示せ：
)
(
)
(
imφ
imφ
m
m
ˆ
.
= m Pl (cos θ) e
ℓ3 Pl (cos θ) e
1
(9.2.7)
これまでの議論から明らかなように，l 次球面調和関数は一般に，完全対称でトレースレスな fa1 a2 ···al を
用いて次のように表される：
y(θ, φ) =
∑
fa1 a2 ···al
a1 , a2 ,··· , al
xa1 xa2
xa
··· l .
r r
r
ℓ = (ℓˆ1 , ℓˆ2 , ℓˆ3 ) は極座標では次のように書かれる：
[ ∂
∂ ]
ℓˆ± ≡ ℓˆ1 ± i ℓˆ2 = e±iφ ±
+ i cot θ
,
∂θ
∂φ
2ˆ
3
∂
ℓˆ3 = −i .
∂φ
ここで，Pl m (x) は |m| ≤ l を満たす整数 m に対して定まる Legendre 陪関数で，互いに等価
な次の 2 つの式で定義される (レポート 8 参照):
l+m
(
)
(−1)l
2 m/2 d
2 l
(1
−
x
)
(1
−
x
)
|m|
≤
l
,
2l l!
dxl+m
l−m
(−1)l+m (l + m)!
2 −m/2 d
Pl m (x) =
(1
−
x
)
(1 − x2 )l
2l l! (l − m)!
dxl−m
Pl m (x) =
(9.2.8)
(
)
|m| ≤ l .
(9.2.9)
なお，2 式の等価性から，公式
Pl −m (x) = (−1)m
(l − m)! m
P (x)
(l + m)! l
(
|m| ≤ l
)
(9.2.10)
が導かれる．
3
二次元空間でのポテンシャル問題
二次元空間 (x, y) でのハミルトニアン
H=−
2
2m
(∂x2 + ∂y2 ) + V (x, y)
(9.3.1)
(x < 0, 領域 I)
(9.3.2)
を考える。
y 軸に平行なポテンシャル
V (x, y) = U (x) = 0
= V0 > 0
(x > 0, 領域 II)
(9.3.3)
に領域 I から運動量 (px , py ) (px > 0, py ̸= 0) の平面波 eikx x+iky y が定常的に入射する場合、
領域 I での反射波、領域 II での波動関数を求めよ。
ただし、E = (p2x + p2y )/2m =
4
2
(kx2 + ky2 )/2m < V0 とする。
球面調和関数 (2)
(1) l 次球面調和関数が作る (2l + 1) 次元線形空間の基底として，(9.2.6) に定数をかけた
√
(
)
2l + 1 (l − m)!
|m| ≤ l
(9.4.1)
Pl m (cos θ) eimφ
Yl,m (θ, φ) ≡ (−1)m
4π (l + m)!
4
3
を取るとき，
これが正規直交基底になっていることを示せ：
∫ π ∫ 2π
⟨
⟩
∗
Yl, m , Yl′ , m′ ≡
dθ
dφ sin θ Yl,m
(θ, φ) Yl′ ,m′ (θ, φ) = δl, l′ δm,m′ .
0
(9.4.2)
0
以下表記を簡単にするため，単位球面上の点を Ω ≡ (θ, φ) と書き，2 次元球面上の微小面
積を
d2 Ω ≡ sin θ dθ dφ
(9.4.3)
と書く．これに伴い，上記の固有方程式 (9.2.5)–(9.2.7) と直交関係 (9.4.2) を
ℓˆ2 Yl,m (Ω) = l(l + 1) Yl,m (Ω),
ℓˆ3 Yl,m (Ω) = m Yl,m (Ω),
∫
⟨
⟩
Yl, m , Yl′ , m′ = d2 Ω Yl,∗m (Ω) Yl′ , m′ (Ω) = δl, l′ δm,m′
(9.4.4)
(9.4.5)
と書くことにする．
(2) 次を示せ：
∗
Yl,m
(Ω) = (−1)m Yl, −m (Ω).
(9.4.6)
(3) パリティ変換 r → −r は (r, θ, φ) → (r, π − θ, φ + π) で表される．この変換 Ω = (θ, φ) →
ΩP ≡ (π − θ, φ + π) のもとで，球面調和関数が
Yl,m (ΩP ) = (−1)l Yl,m (Ω)
(9.4.7)
と変換することを示せ．
(4) l = 0, 1, 2 の場合について Yl,m (Ω) を具体的に書き下して問題 1(8) の結果と比べ，
Yl, m (Ω) ∝
fl, m (r)
rl
を確かめよ．
3
表式 (9.2.8) あるいは (9.2.9) に応じて，Yl,m (θ, φ) は
(−1)l (∓1)m
Yl, m (θ, φ) =
2l l!
√
[
]
)l±m (
)±m (
)2l imφ
2l + 1 (l ∓ m)! (
d
e
sin θ
sin θ
4π (l ± m)!
d(cos θ)
と書かれる．
5
(9.4.8)
(5) Legendre 陪関数の具体形を用いて，
√
(−1)l (2l + 1)!
Yl, l (Ω) = l
sinl θ e ilφ
2 l!√
4π
1
(2l + 1)!
Yl, −l (Ω) = l
sinl θ e−ilφ
2
l!
4π
√
2l + 1
Yl, 0 (Ω) =
Pl (cos θ)
4π
(9.4.9)
(9.4.10)
(9.4.11)
を示せ．また，Yl, l (Ω)，Yl, −l (Ω) について，問題 1(6)(7) の結果と比べよ．
5
球面調和関数 (3)
(1) 微分演算子 ℓˆa (a = 1, 2, 3) が次の代数関係を満たすことを示せ：
[
]
ℓˆ1 , ℓˆ2 = i ℓˆ3 ,
[
]
ℓˆ2 , ℓˆ3 = i ℓˆ1 ,
[
]
ℓˆ3 , ℓˆ1 = i ℓˆ2 .
(9.5.1)
また，ℓˆ± ≡ ℓˆ1 ± i ℓˆ2 として，次の代数関係が成立することを示せ：
]
]
[
[
ℓˆ3 , ℓˆ± = ± ℓˆ± ,
ℓˆ+ , ℓˆ− = 2ℓˆ3 ,
)
)
(
(
)
(
ℓˆ2 ≡ ℓˆ12 + ℓˆ22 + ℓˆ32 = ℓˆ− ℓˆ+ + ℓˆ3 ℓˆ3 + 1 = ℓˆ+ ℓˆ− + ℓˆ3 ℓˆ3 − 1
[ 2 ]
ℓˆ , ℓˆa = 0 (a = 1, 2, 3).
(9.5.2)
(9.5.3)
(9.5.4)
(2) 先に示した等式
ℓˆ3 Yl,m (Ω) = m Yl,m (Ω)
(9.5.5)
(
) (
)
)(
ℓˆ3 ℓˆ± Yl,m (Ω) = m ± 1 ℓˆ± Yl,m (Ω) .
(9.5.6)
と上の代数関係から，次を示せ：
一方，問題 1(7) で示したように，量子数 (l, m) に対応する固有空間に縮退がないから，式
(9.5.6) は
ℓˆ± Yl,m (Ω) = c±
l,m Yl,m±1 (Ω)
(
c±
l,m ：定数
)
(9.5.7)
を意味する．この定数 c±
l,m が
c±
l,m =
√
l(l + 1) − m(m ± 1)
6
(9.5.8)
を満たさなくてはならないことを，代数関係 (9.5.2)–(9.5.4) だけ用いて示せ．
( ∂
∂ )
±iφ
ˆ
(3) ℓ± = e
± + i cot θ
について，以下の等式を示せ：
∂θ
∂φ
)
)±m+1
(
(
ℓˆ± eimφ f (θ) = ∓ ei(m±1)φ sin θ
]
d [(
sin θ)∓m f (θ) .
d(cos θ)
(9.5.9)
[(
]
dk
∓m
sin
θ)
f
(θ)
.
d(cos θ)k
(9.5.10)
この等式を逐次用いることで，次の等式を示せ：
( )k ( imφ
)
(
)±m+k
ℓˆ±
e
f (θ) = (∓1)k ei(m±k)φ sin θ
(∓1)l
(4) Yl, ±l (Ω) = l
2 l!
√
(2l + 1)!
sinl θ e±ilφ が方程式
4π
ℓˆ± Yl, ±l (Ω) = 0 (複号同順)
(9.5.11)
を満たすことを確かめよ．
(5) Yl,m (Ω) に次の 2 通りの表し方があることを示せ：
√
(l + m)! ( ˆ )l−m
ℓ−
Yl, l (Ω),
Yl,m (Ω) =
(2l)! (l − m)!
√
(l − m)! ( ˆ )l+m
Yl,m (Ω) =
ℓ+
Yl, −l (Ω).
(2l)! (l + m)!
(9.5.12)
(9.5.13)
また，このことを用いて，式 (9.5.7) の c±
l,m の位相が 0 であること，つまり
√
ℓˆ± Yl, m (Ω) = l(l + 1) − m(m ± 1) Yl, m±1 (Ω)
(
)
√
= (l ∓ m)(l ± m + 1) Yl, m±1 (Ω)
(9.5.14)
となることを示せ．
6
平面波の極座標表示
[このレポート問題は採点の対象外であり，スキップしても構わない]
(1) y が |y| ≤ 1 を満たすとき，eixy を y の関数とみれば
e
ixy
=
∞
∑
cl (x) Pl (y)
(
|y| ≤ 1
)
(9.6.1)
l=0
と Legendre 展開できる．これに対して Pl (y) の直交関係を使うことで，公式
eixy =
∞
∑
(2l + 1) il jl (x) Pl (y)
l=0
7
(
|y| ≤ 1
)
(9.6.2)
を示せ．
ˆ ≡ k/|k| と rˆ ≡ r/|r| をそれぞれ
(2) 2 つのベクトル k と r の単位ベクトル k
Ωkˆ = (θkˆ , φkˆ ),
Ωrˆ = (θrˆ , φrˆ )
(9.6.3)
と表すとき，問題 5 と組み合わせることで，次の公式を証明せよ：
eik·r = 4π
∞ ∑
l
∑
∗
il jl (kr) Yl,m
(Ωkˆ ) Yl,m (Ωrˆ ).
(9.6.4)
l=0 m=−l
(3) 公式
∞ ∑
l
∑
l=0 m=−l
∞
2
∫
∗
(Ω′ ) =
Yl,m (Ω) Yl,m
dk k jl (kr) jl (kr′ ) =
0
(
)
1
δ(θ − θ′ ) δ(φ − φ′ ) ≡ δ 2 (Ω, Ω′ ) ,
sin θ
π
δ(r − r′ )
2
2r
を証明せよ．
8
(9.6.5)
(9.6.6)

複素数値関数の微分 · 積分 &gt

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