目で見る一次変換河合塾数学科生越茂樹オゴセシゲキ授業内容(90分×2+α)  線形性の大雑把な理解  「回転」，「回転∘拡大」を表す行列  「対称移動」を表す行列  固有値，固有ベクトルソフトを使うメリット  「変換」が “瞬時に”見える  原像の変更が容易  行列の変更も容易  アニメーションも利用可能 1. 線形性の大雑把な理解 a b の表す一次変換による像は F   c d  1 x  0 1  0 a b  F    F  x    y    x F    y F    x    y    y  1  0 1 c  d    0 即ち， 1 x    0 a b F   c d    0 a y      x   1 c  b  y  d   2 1 F  は, A(1,0) と B(0,1) で張られた網の目を，  1 1  A'(2,1) と B'(-1,1) で張られた網の目に変換する ∵例えば，C(2,1)のとき，    OC  2·OA  1·OB  OC =2·OA  1·OB F y y C' O B' C B A x A' F O x ２‐1．「回転」を表す行列  cos R( )    sin   sin    cos  は，原点を中心とするθの回転を表す行列  cos  sin    sin    1  0 は,  と   で作られた網の目を ,  cos   0  1 90  cos    sin    sin  と  cos  で作られる網の目に変える変換     y y B(0,1) B'(-sinθ ,cosθ) O A(1,0) x A'(cosθ,sinθ) θ回転 θ O 1 x 2‐2．「回転∘拡大」を表す行列は, 原点を中心とする「  の回転」と「の合成. a2  b2 倍の拡大」   a b , sin    但し cos   2 2 2 2  a b a b   90度回転 90 Fは, 原点を中心とする  の回転と , 5 倍の拡大の合成 y y 1辺が 5 １辺が１ B(0,1) O の正方形 B'(-1,2) の正方形 A(1,0) x F 5 5 O θ A'(2,1) x ３．固有値と固有ベクトル，標準形 x x A   k   ,  y  y  x   0  y    0     x が成り立つ時，  を A の固有ベクトル， k をその固有値という .  y a b A のとき， k は次の方程式（固有方程式) の解となる.  c d x2  (a  d ) x  (ad  bc)  0 （＊） 3-1. 実固有ベクトルが2個あるとき（固有方程式が異なる2実数解を持つ.又はA=kE) 例1.  2 0 A のとき，   0 3  1  1 A   2   ,  0  0  0  0 A    3   1 1  1  0 (ア) 固有ベクトルは  と   で，固有値はそれぞれ２と３  0  1 (イ) A の不動直線は, 「 x  0」と「 y  0」の 2つ (不動直線は必ず原点を通る)  2 0 A ，   0 3  1  1  0  0 A    2   , A    3   0  0  1 1 x軸に平行な直線は原点からの距離が3倍に， y軸に平行な直線は原点からの距離が2倍になるので，不動直線は「 y  0」と「 x  0 」 y x=1 y y=3 1 y＝1 O x 1 A x=2 3 O 2 x 例2 . 1  4 2 A  のとき，  3  1 5  1  1 A    2·  ,  1  1  2   2  A    1·  1 1 1  2  (ア) 固有ベクトルは  と   で，固有値はそれぞれ 2と 1  1  1  1 (イ ) A の不動直線は, 「 y  x  k ( k は任意)」と「 y   x」 2 (原点を通らない不動直線も存在する!) 1  4 2 A  ，  3  1 5  1  1  2   2  A    2·  , A    1·   1  1 1 1  1 1 に平行な直線は　原点からの距離が変わらないので，y  x  k (k は任意)    2  1 は, A によって動かない. 一方   に平行な不動直線は「 y   x」のみ. 2 1 1 3 y  x 2 2 y 1 y   x3 2 y=x+3 y y=x+3 1 O 1 x A O x 基底の変換一般に，e1, e2 が一次独立のとき，e1, e2 の A による像が   Ae1  pe1  qe2    Ae2  re1  se2 ① となったとする．まとめて，  p r A e1 e2  e1 e2   q s         ゆえに， P  e1 e2 とおくと  p r P AP   ①'   q s 1 3-1-1. 標準化（実固有ベクトルが，2個あるとき）  p r A の固有ベクトルを e1    , e2    , 各々の固有値を  ,  とする． q  s  p r P  e1 e2   とすると，   q s  1 P AP   0   0   P1 AP は， A の表す変換 f を，e1 と e2 を使って表現した行列. 即ち， 1   f    =  e1 +0 e2 ,  0  = e1    0  0 0 f    = 0 e1 + e2  1  = e2      入試問題 a b 行列 A   によって定まる xy 平面上の一次変換を f とする．  c d 原点以外のある点Qが f によって Q自身に移されるならば，原点を通らない　f の不動直線 l が存在する事を証明せよ．ただし，ad  bc  0 とする．   f OQ  OQ, OQ  0 (東大 S57 改) 【証明の概略】 A が xy平面の正則な行列のとき，適当な e1, e2 を取り ,   P  e1 e2 とおくと，A は次の３種類に標準化される． (i) Aの実固有ベクトルが２個のとき  P AP   0 1 0   (ii) Aの実固有ベクトルが１個のとき 1  1 1  P 1 AP        0   0 1  ずらし変換  (iii) Aの実固有ベクトルが０個のとき  p q  P AP    q p   回転∘拡大 1 この問題では， (i) は既述． (iii) は実固有ベクトルがないので不適．「(ii) 実固有ベクトルが１個ならば，ずらし変換になること」の証明が核心．