渦位(Potential Vorticity)と角運動量の保存質点の角運動量（ L） L  m rv  m r2  一定  m v 密度一様で一定の体積をもつ水でできた円柱（水柱）の角運動量を考えてみよう。  ( r 2 )dV  一定 2 r1 h1   0 0 0 ( r 21 )dh  rdrd  2 r2 h2  ( r 2 2 )dh  rdrd ① 0 0 0 1 4 1 4 r1 1h1  r2  2 h2 ② 4 4 体積は一定なので、 h1 2 2 2 2 r1 h1  r2 h2  r2  r1 ③ h2 ③を②に代入して、「渦度」を「水柱の高さ」 2 で割ったものが保存量   h1 4 4 r1 1h1    r1 2 h2 自転する地球上の流体は宇宙から見  h2  れば、渦度ｆを既に持っているので 1 2 d    　 0 d  f    d  2 sin    h1 h2 dt  h   　 0 dt  h  dt  h  を得る。渦位（ポテンシャル渦度）渦位方程式（地球流体の角運動量保存の導出）浅水方程式（β平面近似） u u u   u  v  fv   g ① t x y x v v v   u  v  fu   g ② t x y y 連続方程式（密度一様） u v w    0　③ x y z   ②  ①をとり、回転成分を抽出 x y    u    v v v u u   u  v  fu     u  v  fv   0 x  t x y x y  y  t     u    v v v u u   u  v  fu     u  v  fv  x  t x y x y  y  t    v  u v  2 v v v  2v u    u 2  v f t  x  x x x y xy x x   u  u u  2u v u  2u v f     u  v 2  f v t  y  y x xy y y y y y   v u    v u    v u       u     v  f    t  x y  x  x y  y  x y   v u  u v    f       0 x y  x x   v u        相対渦度 x y と置く。また、fは時間変化しないこと、x方向にも変化しないことを考慮すると、時間微分項及びx微分項にfを入れても結果は同じになるから、   f     u   f     v   f      f    w  0 t x y z 海底( H )から海面( )まで、鉛直積分する。    w  f    u  f    v  f     f     0 t x y z d d (  H )  f      f    (  H )  0 dt dt h    H　である d dh h  f     f     0 dt dt  d  f    dh  2 1  d     h2    h h f    f      0  2  dt   dt  h   h  dt  f  f g  fg     ここで微分公式、　を使っている。結局、 2 g g d  f   渦位の保存式  0 dt  h  となる。 β平面近似 2 y θ0 f 0  2 sin 0 基準緯度  0の地球上で y  0とし、 θ0 θ 北向きに yが正とすると、 y  R(   0 )  df  f ( 0   )  f ( 0 )        d   0 f0 y  2 sin  0  2 cos 平面近似では、渦位保存式は、 R d  f 0  y    2 cos  0  2 sin  0  y dt  h  R となる。  f 0  y β 「渦位保存の意味」＆「ロスビー波」ポテンシャル渦度（渦位）回転を感じるシステムでの渦度 dq f     0　q   一定   dt h   今、層厚が一定であるとすれば、北に変位した場所では、マイナスの相対渦度（時計回りの二次流）、南に変位している場所ではプラスの相対渦度（反時計の二次流）が発生する。二次流によって、等渦位線（位相）は西に伝播してゆく。これが、ロスビー波の西進のメカニズムである。 dq d  f      0 dt dt  h  h : 一定、線形近似する、平面近似する。 d d v u   f      f    dt dt  x y   v u    v u    v u    f     u  f     v  f    t  x y  x  x y  y  x y    v u  f   v u       v      v  0 t  x y  y t  x y    v u         v t  x y  t v>0（北向きの流れ）の場合、右辺は負⇒負の相対渦度（時計回りの渦）が発生する v<0（南向きの流れ）の場合、右辺は負⇒正の相対渦度（反時計回りの渦）が発生する先走って、海洋大循環理論エクマン輸送により表層水は集まる集まった水は、潜り込むしかない東西断面 z x エクマン層 h 内部領域上面が押えつけられているから、 hが小さくなるようにエクマン収束が作用している大規模スケール（太平洋スケール）では、相対渦度(ζ)は惑星渦度（f）よりも小さい。 u 10cm / s 1  104 km / s ~  y 2000km 2  103 km  5  107 s 1 f  2 sin(30)   ~  7.27  105 s 1 u f   ~ y 2 60  60  24 dq f  f    0　q  ~  一定   dt h h   h  減少、f  減少：南向きになるエクマン層理論＆渦位保存＆ロスビー波で大循環が理解できる y 西岸境界流（黒潮） x 北北南南 z x 西スペルドラップ流（水位）圧力最大流量は同じ海面 p : 大  強い流れ x 海底東ロスビー波が西に伝播する p : 小  弱い流れ x コリオリ力が無い場合の循環コリオリ力が有る場合の循環東西の壁（南北も）で、海面変位が同じである理由境界を横切る流れがない ⇒境界上で圧力が変わらない（地衡流の場合） g  g  u  0、v    （境界で） 0    一定（境界で） f y f x 南北、東西の岸は繋がっているので、境界上のどこでもは同じ地球表面における風の分布（7月）地球表面における風の分布（１月）海洋風成大循環今後の予定 • 準地衡流渦位方程式（地衡流の時間変化を表す方程式） • エクマン層の力学 • 海洋大循環理論その１ • 海洋大循環理論その２ • 定期試験定期試験についての予告 A4用紙２枚に手書きしたもの（裏表記入可）を持ち込むこと。これは、試験の後提出。（自分用に残したい場合はコピーをとること）答案用紙（70％）と上記A4用紙2枚の出来（30％）で判断します。最終成績は、定期試験に加えて冬休みレポート問題及び出欠も加味します。