演算子の固有値、固有関数 6 6—1 固有値・固有関数とはシュレーディンガー方程式 ˆ Hϕ(x) = Eϕ(x) 1 °→ 解くと状態が決まる（物理的意味） 2 °→ これは ”固有値問題 ”(数学的) ˆ に対して、定数 a と関数 ϕa (x) が一般に演算子 A ˆ a (x) = aϕa (x) Aϕ を満たす時 a : Aˆの固有値 ϕa (x) : a に対する固有関数 (例) h ¯ ∂ hk 、固有関数 i ∂x に対して固有値¯ h ¯ ∂ ikx ikx pˆe = i ∂x e = h¯i (ik)eikx = h ¯ keikx 0 0 0 ik x pˆ = 注 ° hk (k 6= k ) に対して e ¯ ik0 x pˆe eikx を考える。 0 ik 0 x =h ¯k e 0 0 hk も固有値、eik x はその固有関数 ¯ 一つの演算子に対して、固有値、固有関数はいくつも存在する。「シュレーディンガー方程式を解く」 Hϕ(x) = Eϕ(x) ⇔「H の固有値、固有関数を求める。 | {z } | {z } k エネルギー k 波動関数 ☆固有関数ではない例 ∂ pˆ = h¯i ∂x にたいし、ϕ = cos kx を考える pˆ cos kx = h¯i (−k) sin kx = i¯ hk sin kx 6= (定数) × cos kx 6—2 不確定性原理と固有関数 0 ≤ x ≤ L の円周上 ϕk (x) = √1L eikx (規格化 OK) P → φ(x) = k Ck ϕk (x) とする。 (重ね合わせ) pˆを測定 ⇒ p = h ¯ k の値が観測される確率は |Ck |2 1 ☆（例） φ(x) = √1 ϕk + √1 ϕ−k (x) 2 (2 p=h ¯k pˆφ(x) = = = = 確率 p = −¯ hk q 2 L cos kx 1 2 1 2 √1 p ˆϕk (x) + √12 pˆϕ−k (x) 2 √1 (¯ hk)ϕk (x) + √12 (−¯ hk)ϕ−k (x) 2 h ¯k √ (ϕk (x) − ϕ−k (x)) 2 φ(x) はpˆの固有関数ではない。 q = i L2 sin kx ☆ φ(x) = ϕk (x) なら pˆφ(x) = h ¯ kφ(x) 固有関数このとき、pˆ を観測 → 100% の確率で p = h ¯k φ= √1 (ϕk 2 + ϕ−k ) < p >= 0 ∆p ∼ ¯ hk ゆらぎ φ = ϕk < p >= h ¯k ∆p = 0 ゆらぎなし ☆一般化 ˆの固有値演算子A a1 , a2 , a3 . . . ˆ Aϕi (x) = ai ϕi (x) ϕi (x) : ai にたいする固有関数 P φ(x) = i Ci ϕi (x) 重ね合わせ |Ci |2 : Aˆを測った時、ai という値が得られる確率 ( 1 (i = i0 ) = ○もし、Ci 0 (i 6= i0 ) (φ = ϕi0 (x)) 2 ⇒ Aˆの測定で不確定性なく ai0 という値が得られる。 φ(x) がAˆの固有関数ならAˆを測定した時、不確定性がない。シュレーディンガー方程式の解 Hϕi = Ei ϕi (i = 1, 2, 3, . . .) P −iωi t Ψ(x, t) = ( ωi = Eh¯i i Ci ϕi (x)e 1 (i = i0 ) Ci = 0 (i 6= i0 ) ならば HΨ = Ei0 Ψ Ψも固有関数 E h ¯ に不確定性がない iωt → ω= → Ψは e で単純に振動するだけ → |Ψ(x, t)|2 は時間的に変化しない。(定常) 6—3 不確定性原理 ˆ B ˆ にたいして演算子A, ( ˆ = aϕ Aϕ ˆ = bϕ Bϕ を同時に満たすϕ が存在するならば、 ˆ の同時固有関数。 ϕ(x) はAˆとB ˆとB ˆ このときA ( を測定 Aˆ → a ˆ→b B 共に不確定性なく値が得られる。 2 pˆ (例) H = 2m とpˆ ϕ (x) = eikx は同時固有関数。 (k 2 2 k ϕk Hϕk = h¯2m pˆϕk = h ¯ kϕk この時、エネルギーと運動量を測定 2 2    k → E = h¯2m とp=h ¯ k が共に不確定性なく得られる。注 °ϕ(x) = cos kx の場合   ϕ0 (x) = −k sin kx, ϕ00 (x) = −k2 cos kx  2 2 k ⇒ Hϕ = h¯2m ϕ だがpˆϕ 6= h ¯ kϕ × ˆ の同時固有関数が存在すればいわゆる ”不確定性原理 ” AˆとB ˆとB ˆ には当てはまらない。はA 3 ○ 同時固有関数が存在する時  ˆ ˆ Bϕ) ˆ AˆBϕ = A( = Aˆ · bϕ     ˆ = b(Aϕ) = abϕ  ˆ Aϕ ˆ B ○ ˆ Aϕ) ˆ B( = abϕ = = ˆ  aBϕ     演算子の交換積 ˆ B] ˆ = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ [A, ˆ =B ˆ Aϕ ˆ ⇒ AˆBϕ ˆ B] ˆ = 0 ならもし [A, ˆ = B ˆ Aˆ AˆB ˆ =B ˆ Aϕ ˆ ⇒ AˆBϕ ⇒ 同時固有関数が存在 ⇒ (例 1) Aˆ = 不確定性なし ˆ = h¯ B h ¯ 2 ∂2 − 2m ∂x2 , ∂ i ∂x のとき ˆ = − h¯ 2 ∂ 22 · • AˆB 2m ∂x ˆ Aˆ = h¯ ∂ · −¯h2 • B h ¯ ∂ h ¯ 3 ∂3 i ∂x = − 2mi ∂x3 2 h ¯ 2 ∂3 ∂ 2m ∂x2 = − 2mi ∂x3 i ∂x (例 2) Aˆ = pˆ = h ¯ ∂ ˆ i ∂x , B = x のとき pˆx 6= xˆ p xˆ pϕ = h ¯ ∂ i ∂x ϕ(x) h ¯ 0 xϕ (x) i h ¯ ∂ i ∂x (xϕ(x)) h ¯ 0 0 i (xϕ + x ϕ) x· = pˆxϕ = = h ¯ 0 i xϕ h ¯ iϕ pˆxϕ − xˆ pϕ = = [ˆ p, x] ϕ = h ¯ iϕ ⇒ 7 7—1 ˆ=B ˆ Aˆ ) AˆB ↓i h ˆ ˆ A, B = 0 = h¯i xϕ0 + h¯i ϕ + h¯i ϕ − h¯i xϕ0 (どんなϕ に対しても) h ¯ i 6= 0 x とpˆの間に不確定性の関係がある [ˆ p, x] = 調和振動子 (バネ振動) ハミルトニアン V (x) = = 4 1 2 2 kx 2 mω 2 2 x k : バネ定数 m : 質量 ω : 固有振動数一般に任意の型の位置エネルギー極小点 x = a のまわりでの微小な振動 x = a でのテーラー展開 V (x) = V (a) + V 0 (x = a) · (x − a) + 12 V 00 (x = a) · (x − a)2 + . . . x = a で極小 → V 0 (x = a) = 0 ⇒ V (x) ' 定数 + 12 V 00 (x − a)2 + . . . ハミルトニアン h ¯ 2 ∂2 H = − 2m ∂x2 + V (x) x ˜ = x − a と変数変換 ∂ ∂x ∂ ∂x ˜ = V (x) を (x − a) の 2 次まで展開 k x ˜ 2 h ¯ H = − 2m + 調和振動子のハミルトニアン 1 x2 2 k˜ + (定数) 00 k = V(x=a) エネルギーの原点の移動 ↓ 無視してよい。 (具体例) 分子振動距離 R だけ離れた二つの原子からなる分子 5 • R = R0 でエネルギー最小 → 分子を作る • R → 0 で原子核同士が近づく → クーロン反発力 • 分子振動 R = R0 のまわりの微小振動 ↓ 調和振動子として近似できる。 • CO2 ガスの温室効果 → 分子振動による赤外線の吸収バネ振動、固有振動数 = ω エネルギーの吸収 6 調和振動子のハミルトニアン h ¯ 2 ∂2 mω 2 2 H = − 2m ∂x2 + 2 x (k = mω 2 ) 定数 ¯ h, m, ω : パラメータが多い。 ⇒ 無次元化によって簡単化 (統一した形へ変形) H : エネルギーの次元 h, m, ω を使ってエネルギーを作る → ¯ ¯ hω ⇒H = = さらに [ h ³ 2 ´i h ¯ h ¯ ω × h¯1ω − 2m . . . → 無次元 ∙ ¸ ∂2 1 mω 2 h ¯ h ¯ ω − 12 mω + x 1 ∂x2 2 h ¯ =λ =λ ] を簡単にする。 x → ξ 変数変換する ( √ λx2 = ξ 2 ξ = λx とおくと 1 ∂2 ∂2 λ ∂x2 = ∂ξ 2 → 新しい変数ξµを使って ¶ 1 ∂2 1 2 H=h ¯ω − + ξ 2 ∂ξ 2 2 | {z } 無次元化されたハミルトニアン利点 : ξ も無次元化 hω に比例することが明らか。エネルギー固有値は¯ (その他のパラメータに依らない) Hϕ = ⇒ Eϕ 2 1 2 ∂ − 12 ∂ξ 2 ϕ(ξ) + 2 ξ ϕ(ξ) = κϕ(ξ) ↓ κ = E/¯ hω 物理数学の教科書に ”超幾何関数を解とする微分方程式 ” として載っている。 7—2 波動関数 2 1 2 ∂ − 12 ∂ξ 2 ϕ(ξ) + 2 ξ ϕ(ξ) = κϕ(ξ) この微分方程式を解く。ただし境界条件 |x| → ∞ でϕ(x) → 0 (|ξ| → ∞ でϕ(ξ) → 0) 1 解：ϕn (ξ) = Nn Hn (ξ)e− 2 ξ 2 (n = 0, 1, 2, . . .) Hn (ξ) : エルミート多項式 Nn : 規格化定数 ¢ ¡ ˆ ¯ω このときHϕn = En ϕn , En = n + 12 h 7 エルミート多項式 H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ, H3 (ξ) = 4ξ 2 − 2 Hn (ξ) ( はξ の n 次多項式 ( nが偶数奇数 → Hn (ξ) は偶関数奇関数 •V (ξ) < E の領域で振動 • V (ξ) > E で減衰特にしかし |ϕ|2 6= 0(トンネル効果) n = 0 基底状態（ = エネルギー最低の状態） 1 E = 12 h ¯ ω>0 , ϕ(ξ) = e− 2 ξ 2 (古典力学：E = 0 静止状態が最低エネルギー状態) 量子力学では調和振動子に静止状態はない基底状態での振動 = ゼロ点振動理由：不確定性より、静止状態は禁止。 E = 0 だとすると 0 =< H > = = E D 1 2 mω 2 2 2m p + 2 x 1 mω 2 2 2m < p > + 2 2 E = 0 なら < p2 >= 0 かつ!< x >= 0 p の不確定性と同時に 0 ⇒ x の不確定性 ⇒ 禁止される。 8 < x2 >