12/18 の講義の補足 12/18 の行列の対角化の例の説明が不十分だったため，以下に対角化の手順の流れを説明する．   1 2 −2   例. 行列  2 1 2  を直交行列で対角化せよ． −2 2 1 [対角化の手順] (I) A の固有値を求める． φA (t) を A の特性多項式として，φA (t) = 0 を解くと t − 1 −2 2 φA (t) = |tE − A| = −2 t − 1 −2 = (t + 3)(t − 3)2 = 0. 2 −2 t − 1 ∴ t = −3, 3; A の固有値 (II) 1 次独立な固有ベクトルを求める． a) 固有値 −3 に対応する固有ベクトル同次連立方程式 (−3E − A)x = 0 の解を求めると   1   x = α −1 (αは任意). 1 3 に対応する固有ベクトルとして，特に次のようにとる:   1   a1 = −1 . 1 b) 固有値 3 に対応する固有ベクトル：同次連立方程式 (3E − A)x = 0 の解を求めると     1 −1     x = α 1 + β  0  (α, β は任意). 0 1 −3 に対応する 1 次独立な固有ベクトルとして，特に次のようにとる:     1 −1     a2 = 1 , a3 =  0  . 0 1 (III) 各固有値に対応する固有ベクトルを Gram-Schmidt 直交化法で直交化する． a) 固有値 −3 に対応する固有ベクトル a1 の直交化 a1 を正規化すると  √  1/ 3 √  1  a1 = −1/ 3 . p1 := √ |a1 | 1/ 3 1 b) 固有値 3 に対応する固有ベクトル a2 , a3 の直交化 a2 を正規化すると  √  1/ 2 1  √  p2 := a2 = 1/ 2 . |a2 | 0 b3 を以下で定義:      √   √    −1 −1 1/ 2 1/ 2 1/2      √   √    b3 = a3 − (a3 , p2 )p2 =  0  −  0  , 1/ 2 1/ 2 = 1/2 . 1 1 0 0 1 b3 を正規化すると  √  1/ 6 1  √  p3 = b3 = 1/ 6 . √ |b3 | 1/ 6 注意: i)Ap1 = −3p1 , Ap2 = 3p2 , Ap3 = 3p3 . ii) p1 と p2 , p3 は異なる固有値に対応する固有ベクトルなので (p1 , p2 ) = 0, (p1 , p3 ) = 0. したがって，p1 , p2 , p3 は 3 次元列ベクトル空間における正規直交基底． (IV) 直交行列による対角化 (III) の注意 i) より   −3 0 0   A[p1 p2 p3 ] = [p1 p2 p3 ]  0 3 0 . (∗) 0 0 3   √ √ √ 1/ 3 1/ 2 1/ 6 √ √ √   P = [p1 p2 p3 ] = −1/ 3 1/ 2 1/ 6 とおくと，(III) の注意 ii) より P は直交行列．よって √ √ 1/ 3 0 1/ 6 (∗) より   −3 0 0   P −1 AP =  0 3 0 . 0 0 3 2