j

電気数学Ⅱおよび演習
期末テスト
(3) 前問の式①の積分を計算し、 R (τ ) の値を求めよ。必要なら、次の定積分の式を参考にせよ。
（2010.8.3）
E1：黒川
E2: 西舘・岩井
∫
∞
−∞
解答にあたっては、途中の導出過程も示すこと。またグラフを描く場合は、横軸、縦軸と曲線の交わる点などの値を
e − at dt =
2
π
a
記入すること。以下において、u(t ) は単位階段関数、δ (t ) はデルタ関数、rect(t ) は矩形関数である。問題の最後（裏
導線が点 P で 2 本に分かれ、さらにまた点 Q で 1 本に合流している。点 P の直前の信号波形を f ( t ) とする。
[５]
面）にヒントがあるので、必要に応じて参考にしてよい。
点 P において、信号 f ( t ) はその大きさが 2 等分されて 2 つの経路に伝搬し、それぞれの経路を伝搬する間
[１] 次の問に答えよ。（12 点）
(1) f (t ) = sin 3t cos 2t の基本周期を求めよ。
(3) 1 + j 3 を指数関数形式に直せ。
⎛ 2 ⎞
π ⎟ を直交形式に直せ。
⎝ 3 ⎠
に波形は変わらないとする。点 Q で合流した直後において、経路 C１から来る信号を f1 ( t ) 、経路 C2 から来
(2) exp ⎜ j
⎛
⎝
(4) 複素表示を用いて f (t ) = cos ⎜ ωt +
(5) デルタ関数の性質を利用して、 δ ( t − 3) / ( t + 1) を簡単にせよ。
(6)
る信号を f 2 ( t ) とする。点 Q で合流した直後の全信号
π⎞
π⎞
⎛
⎟ + cos ⎜ ωt − ⎟ の計算をせよ。
3⎠
3⎠
⎝
g ( t ) は、それぞれの経路からきた信号の和になるとす
( t + 2 ) u ( t + 2 ) をグラフに書け。
る。すなわち、 g ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) である。ただし、
( −π < t ≤ 0 )
(0 < t ≤ π )
(1) f (t )
( −3π < t ≤ 3π )
ただし、 f (t ) = f (t + 2nπ ) n: 整数
をグラフに書け。
(2) 三角フーリエ係数 a0 を求めよ。
(3) 三角フーリエ係数 an を求めよ。
(2) f ( t ) のフーリエ変換を F (ω ) とする。 g ( t ) のフーリエ変換 G (ω ) を、 F (ω ) を用いて表せ。
(3) f ( t ) を入力、 g ( t ) を出力と考えたとき、この伝搬系のシステム伝達関数 H (ω ) の絶対値を求めよ。
線形システムにインパルスを入力したところ、そのインパルス応答は h ( t ) = e u ( t ) となった。以下の問い
−t
に答えよ。（20 点）
(1)
f ( t ) = exp ( − t ) とする。（15 点）
(1) f ( t ) のフーリエ変換 F (ω ) を求めよ。
(2) 次の定積分を計算せよ。 I =
∫
∞
−∞
exp ( −2 t ) dt
(3) 前記の関数 f ( t ) とそのフーリエ変換 F (ω ) に対してパーシバルの定理を適用し、次の積分値
K =∫
∞
−∞
(4) g ( t ) =
[４]
(ω
dω
2
+ 1)
2
の値を求めよ。
1
としたとき、 g ( t ) のフーリエ変換 G (ω ) を求めよ。
t +1
f ( t ) = exp ( −t 2 ) について、次の問いに答えよ。（15 点）
(1) f ( t ) の半値幅（FWHM）を求めよ。
(2) f ( t ) の自己相関関数 R (τ ) は次のように書ける。次の式のアの中に入る式を求めよ。
∞
−∞
①
t > 0 で一定値 2 をこのシステムに入力し続けたときの出力 g ( t ) を、コンボリューションを用いて求めよ。
(2) このシステムのシステム伝達関数 H (ω ) を求めよ。ただし、解は、 H (ω ) e の形式で示すこと。
jθ
(3)
f ( t ) = e j 2t がこのシステムに入力されたときの出力 g ( t ) を求めよ。ただし、解は指数関数の形式で示す
こと。
(4)
f ( t ) = 2 cos ( 3t ) がこのシステムに入力されたときの出力 g ( t ) を求めよ。ただし、解は、三角関数を含
む形式で示すこと。
d 2y (t )
dy (t )
−4
+ 4y (t ) = e −t u (t ) について以下の問に答えよ。
2
dt
dt
ただし， y (t ) の初期値は， y ′ (0+ ) = 1 ， y (0+ ) = 1 とする。（10 点）
[７] １階常微分方程式
2
R (τ ) = ∫ ア dt
C2
(1) 点 Q で合流した直後の全信号 g ( t ) を、 f ( t ) を用いて表せ。
(5) f (t ) を三角フーリエ級数で表せ。
[３]
Q
P
る。このとき、次の問いに答えよ。
（15 点）
[６]
(4) 三角フーリエ係数 bn を求めよ。
g (t )
C1
経路 C１の伝搬時間は τ 、経路 C2 の伝搬時間は 2τ とす
（13 点）
[２] 次の周期関数 f (t ) について以下の問に答えよ。
⎧⎪0
f (t ) = ⎨
⎪⎩2t
f (t )
(1)
y (t ) のラプラス変換をY (s ) とするとき，微分方程式をラプラス変換してY (s ) を求めよ。
()
(2) Y s を部分分数に展開せよ。
()
(3) 微分方程式の解 y t を求めよ。
・
ヒント：
・三角フーリエ級数の公式
∞
F (ω ) = ∫ f (t ) ⋅ e
f (t ) =
・フーリエ逆変換の公式
1
・ F [ e u ( t )] =
α + jω
1
2π
∫
∞
−∞
F ⎡⎣ f ( t − t0 )⎤⎦ = F (ω ) e− jt ω
・
F ⎡⎣ f ( t ) e jω t ⎤⎦ = F (ω − ω0 )
jωt
・シフト定理
F ( ω ) ⋅ e dω
F [ F (t )] = 2π f ( −ω )
1
ω
・F ⎡⎣ f ( at ) ⎤⎦ = F ⎛⎜ ⎞⎟
a ⎝a⎠
⎡ df ( t ) ⎤
⎥ = jω F (ω )
⎣ dt ⎦
・F ⎢
・
] = 2πδ (ω − ω0 )
F [δ (t )] = 1
・ f ( t ) δ ( t − t0 ) = f ( t 0 ) δ ( t − t 0 )
・デルタ関数列
δ
∞
( t ) = ∑ δ ( t − nT )
T
n =−∞
∞
・
F ⎡⎣δ T ( t )⎤⎦ = ω0 ∑ δ (ω − nω0 )
n =−∞
・信号 f(t ) と g(t ) のコンボリュ−ションは f(t ) *g(t ) =
∫
・パーシバルの定理
・相関関数の定義
∞
−∞
f ( t ) dt =
2
1
s
∞
−∞
∞
∫
∞
−∞
f( x) g(t − x)dx
F (ω ) dω
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0
L [u (t )] =
∫
2
f1 ( t ) 、 f 2 ( t ) が実関数のとき
・ラプラス変換の定義
・
1
2π
lim sF (s ) = f (0+ )
s →∞
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞
s →0
L [ f (t − τ )] = e −τs F (s )
⎣∫
0
jω0t
⎡ df ⎤
L ⎢ ⎥ = sF (s ) − f (0+ )
⎢⎣ dt ⎥⎦
・コンボリューション L ⎡⎢
0
・ F [e
・初期値定理
・最終値定理
dt
（α > 0 ）
・
・
− jωt
−∞
−α t
1
s2
・微分のラプラス変換
∞
1
2 T2
2 T2
f ( t ) = a0 + ∑{an cos ( nω0t ) + bn sin ( nω0t )} ， an = ∫ f ( t ) cos ( nω0t ) dt ， bn = ∫ f ( t ) sin ( nω0t ) dt
T −T 2
T −T 2
2
n =1
・フーリエ変換の公式
L [tu (t )] =
R12 (τ ) = ∫
∞
−∞
f1 ( t ) f 2 ( t − τ ) dt
∞
0
L ⎡⎣e −at f (t )⎤⎦ = f (s + a )
f1 (τ ) f2 (t − τ )d τ ⎤⎥ = F1 (s ) F2 (s )
⎦
電気数学Ⅱおよび演習
期末テスト
解答用紙１
（解答例）
[１]
学生番号
[２]
(1)
f(t)
(1)
sin 3t cos 2t =
氏名
1
( sin 5t + sin t )
2
sin5t の周期は 2π/5、sint の周期は 2π、よって基本周期は 2π
2π
(2)
2
2
1
3
⎛ 2 ⎞
exp ⎜ j π ⎟ = cos π + j sin π = − + j
3
3
2
2
⎝ 3 ⎠
−3π
−2π
−π
0
t
t
π
2π
3π
(3)
π
⎛1
j
3⎞
π
π⎞
⎛
1 + j 3 = 2 ⎜⎜ + j
⎟⎟ = 2 ⎜ cos + j sin ⎟ = 2e 3
2
2
3
3⎠
⎝
⎝
⎠
(4)
π⎞
π⎞
⎛
⎛
f (t ) = cos ⎜ ωt + ⎟ + cos ⎜ ωt − ⎟
3⎠
3⎠
⎝
⎝
1
(2) a0 =
π⎞
⎛
⎡ j ⎜⎛ ωt + π3 ⎟⎞
j ⎜ ωt − ⎟ ⎤
⎡ jωt ⎛ j π ⎞ jωt ⎛ − j π ⎞ ⎤
3⎠
⎝
⎠
⎝
= Re ⎢e
+e
⎥ = Re ⎢ e ⎜ e 3 ⎟ + e ⎜ e 3 ⎟ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦⎥
⎣⎢
π
⎡
⎧⎪⎛ 1
⎡ jωt ⎛ j π
− j ⎞⎤
3⎞ ⎛1
3 ⎞ ⎫⎪⎤
3
= Re ⎢e ⎜ e + e 3 ⎟ ⎥ = Re ⎢e jωt ⎨⎜⎜ + j
⎟⎟ + ⎜⎜ − j
⎟ ⎬⎥
2 ⎠ ⎝2
2 ⎟⎠ ⎪⎭⎥
⎢⎣
⎝
⎠ ⎦⎥
⎣⎢
⎩⎪⎝ 2
⎦
= Re ⎡⎣e jωt ⎤⎦ = cos ωt
π
π
∫π
−
f ( t ) dt =
π (∫
1
0
−π
π
)
0 ⋅ dt + ∫ 2t ⋅ dt =
0
1
π
⎡⎣t 2 ⎤⎦ = π
0
π
(3)
an =
1
π∫
π
0
2
=−
nπ
2t cos ( nt ) dt =
π
2 ⎧1
1 π
⎫
⎨ ⎡⎣t sin ( nt ) ⎤⎦ 0 − ∫0 1 ⋅ sin ( nt ) dt ⎬
n
π ⎩n
⎭
π
⎧⎪ ( −1)n − 1 ⎫⎪
2
⎡ 1
⎤
⎢ − n cos ( nt ) ⎥ = n 2π ( cos ( nπ ) − cos 0 ) = 2 ⎨ n 2π ⎬
⎣
⎦0
⎩⎪
⎭⎪
(4)
bn =
(5) f ( t ) δ ( t − t0 ) = f ( t0 ) δ ( t − t0 ) を利用して、
π
∫
π
0
2t sin ( nt ) dt =
π
2⎧ 1
1 π
⎫
⎨− ⎡⎣t cos ( nt ) ⎤⎦ 0 + ∫0 1 ⋅ cos ( nt ) dt ⎬
n
π⎩ n
⎭
2 ( −1)
π⎫
2 ⎧π
1
n +1
= ⎨ ( −1) + 2 ⎡⎣sin ( nπ ) ⎤⎦ 0 ⎬ =
n
n
π ⎩n
⎭
1
δ ( t − 3)
4
(6)
1
n +1
(5)
n +1
⎧⎪ ( −1)n − 1
⎫⎪
−1)
(
cos
sin
f ( t ) = + 2∑ ⎨
nt
+
nt
(
)
(
)
⎬
2
n 2π
n
n =1 ⎪
⎪⎭
⎩
⎞ ⎛
⎞
cos ( 3t ) cos ( 5t )
sin ( 2t ) sin ( 3t )
π 4⎛
= − ⎜ cos ( t ) +
+
+
L
+
−
+
−
L
2
sin
t
(
)
⎟
⎜
⎟
2 π⎝
32
52
2
3
⎠ ⎝
⎠
π
2
-2
0
t
∞
電気数学Ⅱおよび演習
期末テスト
解答用紙２
[３]
(1) g ( t ) =
1
1
2
+
= 2
1 + jω 1 − jω ω + 1
F (ω ) =
(2)
(2)
∞
∞
0
−∞
0
∞
I = ∫ exp ( −2 t ) dt = 2∫ exp ( −2t ) dt = ⎡⎣ e −2t ⎤⎦ = 1
(3) パーシバルの定理より
∫
∞
e
−∞
K =∫
−t
2
∞
−∞
(ω
dt =
dω
2
+ 1)
1
2π
2
=
2
⎛ 2 ⎞
∫−∞ ⎜⎝ ω 2 + 1 ⎟⎠ dω
∞
π
2∫
∞
−∞
e
−2 t
dt =
したがって、
π
⎡ 2 ⎤
⎢⎣ t 2 + 1 ⎥⎦ = 2π exp ( − ω )
1
としたとき、 G (ω ) = π exp ( − ω )
t +1
2
[４]
(1) 2 log e 2
( ) exp {− ( t − τ ) }
2
2
{
}
R (τ ) = ∫ exp ( −t 2 ) exp − ( t − τ ) dt = exp ( −τ 2 ) ∫ exp ( −2t 2 + 2tτ ) dt
∞
−∞
⎧⎪ ⎛ τ ⎞
⎛ τ ⎞ ∞
= exp ⎜ − ⎟ ∫ exp ⎨−2 ⎜ t − ⎟
⎝ 2 ⎠ −∞
⎩⎪ ⎝ 2 ⎠
2
1
⎡ f ( t − τ ) + f ( t − 2τ ) ⎤⎦
2⎣
1
⎡⎣ F (ω ) e− jτω + F (ω ) e− j 2τω ⎤⎦
2
F (ω ) − jτω − j 2τω
⎡e
+e
⎦⎤
2 ⎣
(3)
1 − jτω − j 2τω
⎡e
⎤⎦
+e
2⎣
H (ω ) =
e
−j
3τω
2
2
τω
−j
⎛ j τω2
⎞ − j 3τω
τω
2
2
cos
e
e
+
⎜
⎟=e
2
⎝
⎠
したがって、
F [ F (t )] = 2π f ( −ω ) より、 F
(2) exp −t
=
=
2
⎡exp ( − t ) ⎤ = 2
⎣
⎦ ω +1
したがって、 g ( t ) =
G (ω ) =
2
(4)
(3)
学生番号
[５]
(1)
F
（解答例）
2
2
∞
−∞
⎫⎪
⎛ τ2 ⎞
π
exp ⎜ − ⎟
⎬ dt =
2
⎝ 2⎠
⎭⎪
H (ω ) = e
= cos
τω
2
−j
3τω
2
cos
τω
2
氏名
電気数学Ⅱおよび演習
期末テスト
解答用紙３
学生番号
（解答例）
[６]
氏名
[７]
(1)
(1)
入力： f ( t ) = 2u ( t )
出力： g ( t ) = h ( t ) ∗ f ( t ) =
∞
1
s +1
2
s − 2s − 2
1
+s −3 =
(s 2 − 4s + 4)Y (s ) =
s +1
s +1
s −3
s 2 − 2s − 2
1
∴ Y (s ) =
+
=
2
2
2
(s + 1)(s − 2)
(s − 2)
(s + 1)(s − 2)
s 2Y (s ) − s − 1 − 4sY (s ) + 4 + 4Y (s ) =
∞
⎡⎣e − x u ( x ) ⎤⎦ 2u ( t − x ) dx = 2 ∫ e − x u ( t − x )dx
0
⎧1 t − x > 0 ⇒ x < t
u (t − x ) = ⎨
⎩0 t − x < 0 ⇒ x > t
t < 0 のとき g (t ) = 0 より， g (t ) は t > 0 で値をもつので
∫
−∞
g ( t ) = 2 ∫ e − x dxu ( t ) = 2 ⎡⎣ −e − x ⎤⎦ u ( t ) = 2 (1 − e −t ) u ( t )
t
t
0
0
(2)
(2)
Y (s ) =
インパルス応答をフーリエ変換すると
∞
⎡
⎤
1
H (ω ) = ∫ e u ( t ) e dt = ∫ e e dt = ⎢ −
e−(1+ jω )t ⎥
−∞
0
⎣ 1 + jω
⎦0
−1
1
1 − jω
1
1
=
=
=
e− j tan (ω /1) =
e jθ
2
2
2
1 + jω 1 + ω
1+ ω
1+ ω
−1
ただし， θ = − tan (ω )
∞
(3)
g (t ) = H (2)e
j 2t
または
g (t ) = H ( 2) e
∞
− jω t
−t
j 2t
− t − jωt
1
1 j (2t +θ)
=
e j θe j 2t =
e
1+4
5
ここで， θ = − tan
− j tan −1( 2/1)
1
1− j2
5e
=
e j 2t =
=
1+ j2
1+ 4
5
e
j 2t
f ( t ) = 2 cos ( 3t ) = e
j 3t
+e
−1
(2)
s =−1
(s − 2)
s − 2s − 1
(s + 1)(s − 2)
=
2
(s + 1)
1
9
s =−1
s 2 − 2s − 2
s =2
=−
s =2
2
3
2
3 (s − 2)
2
=
A
B
C
+
+
s + 1 (s − 2)2 s − 2
s 2 − 2s − 2
=
C = (s − 2)Y (s ) +
1 j( 2t +θ )
=
e
5
=
=
2
+
s =2
2
3 (s − 2)
s =2
2
=
− j 3t
=
1
1
− j tan − j ( 3) j 3t
j tan −1 ( 3) − j 3t
e
e +
e
e
1+ 9
1+ 9
1 ⎡ j (3t − tan −1 ( 3) ) − j (3t − tan −1 ( 3) ) ⎤
2
2
−1 3
cos 3t − tan ( ) =
cos ( 3t + θ )
=
e
+e
=
⎥⎦
10 ⎢⎣
10
10
ここで， θ = − tan −1 ( 3)
g ( t ) = H ( 3 ) e j 3 t + H ( −3 ) e − j 3 t =
(
3s − 4s − 4
3 (s + 1)(s − 2)
(3s + 2)(s − 2)
3 (s + 1)(s − 2)
8
=
9
)
Y (s ) =
s =2
s =2
1
1
2
1
8
1
⋅
− ⋅
⋅
2 +
9 s + 1 3 (s − 2)
9 s −2
(3)
【別解】
f ( t ) = 2 cos ( 3t ) = e j 3t + e − j 3t
線形システムであるから，出力は個々の入力に対する出力の和になるので，
g ( t ) = H ( 3 ) e j 3 t + H ( −3 ) e − j 3 t =
=
2
B = (s − 2) Y (s )
線形システムであるから，出力は個々の入力に対する出力の和になるので，
e
(s + 1)(s − 2)
A = (s + 1)Y (s )
ここで， θ = − tan −1 ( 2 )
(4)
s 2 − 2s − 2
− j tan −1 ( 3/1)
e
j 3t
+
e
j tan −1 ( 3/1)
10
10
−1
ここで， θ = − tan ( 3)
1
1
1 − j 3 j 3 t 1 + j 3 − j 3t
e j 3t +
e − j 3t =
e +
e
1 + j3
1 − j3
10
10
e − j 3t =
1 ⎡ j ( 3t +θ ) − j (3t +θ ) ⎤
2
+
=
e
e
cos ( 3t + θ )
⎦
10 ⎣
10
⎛1
2
8 ⎞
y (t ) = L−1 [Y (s )] = ⎜⎜ e −t − te 2t + e 2t ⎟⎟ u (t )
⎝9
3
9 ⎠

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