Exercice - Alain Camanes

Stanislas
Exercices
Calcul analytique
Chapitre III
MPSI 1
2014/2015
I - Généralités
Exercice 1. (-) Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il lipschitzien ? Et si ces fonctions
sont bornées ?
Exercice 2. ( !) Montrer que toute fonction lipschitzienne est la diérence de deux fonctions
lipschitziennes croissantes.
II - Dérivation
Exercice 3. (♥) Soit T ∈ R? . Montrer que la dérivée d'une fonction dérivable. . .
a) . . . paire est impaire.
b) . . . impaire est paire.
c) . . . T -périodique est T -périodique.
2x
Exercice 4. (♥) Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[, arctan 1−x
= 2 arctan x.
2
Exercice 5. (♥) Montrer que pour tous x, y ∈ R, il existe une constante a telle que

 a = 0 si xy<1,
x+y
arctan x + arctan y = arctan
+ aπ , où a = 1 si xy>1 et x>0,

1 − xy
a = −1 si xy>1 et x<0.
1. Formule de J. Machin, 1706. Montrer que
π
4
1
= 4 arctan 15 − arctan 239
.
1
2. Montrer que pour tout x ∈ R+ , arctan(x + 1) − arctan x = arctan 1+x+x
2 . En déduire
n
P
1
lim
arctan 1+k+k
2.
n→+∞ k=0
Exercice 6. (-) Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes.
p
− 1
1. f1 : R → R, x 7→ cos |x|.
3. f3 : R → R, x 7→ e 1−x2 si x ∈] − 1, 1[ et 0
x
sinon.
2. f2 : R → R, x 7→ 1+|x|
.
Exercice 7. (-) Soit f : x 7→
1. Montrer que f est de classe
Pn tel que
√ 1
.
1+x2
C ∞ sur
R et que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme
f (n) (x) =
Pn (x)
1
(1 + x2 )n+ 2
.
2. Soit n ∈ N.
a) Montrer que Pn+1 (x) = (1 + x2 )Pn0 (x) − (2n + 1)xPn (x).
b) Montrer que Pn+1 (x) + (2n + 1)xPn (x) + n2 (1 + x2 )Pn−1 (x) = 0.
c) En déduire la valeur de Pn (0).
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Calcul analytique
MPSI 1
Exercice 8. (-) Soient a, b, λ ∈ R, k, n ∈ N. Déterminer la dérivée nème des fonctions.
1. f1 : R → R, x 7→ x2 ex .
2. f2 : ] − ∞, 1[→ R, x 7→ ln(1 − x).
3. f3 : R → R, x 7→ xk .
4. f4 : R → R, x →
7 ex cos x.
III - Étude de fonctions
Exercice 9. (-) Étudier la fonction f : x 7→
x2 −2x−1 −1/x
e
.
x
2x
Exercice 10. (-) Étudier la fonction f : x 7→ arcsin 1+x
2.
IV - Intégration
Exercice 11. (-) Soient a ∈ [1, +∞[ et f ∈ C 1 ([1, +∞[, R). Montrer que
a
Z
bac
X
btcf 0 (t) dt = bacf (a) −
1
k=1
Exercice 12. (-) Pour tout n ∈ N, on note In =
lim In et lim Jn .
n
f (k).
1
n!
Z
1
0
arcsin x dx et Jn =
n
1
Z
0
e−nx
dx. Calculer
1+x
n
Exercice 13. ( !) Pour tout x ∈ R?+ , on pose f (x) =
Z
3x
x
cos t
dt. Montrer que lim f (x) = ln 3.
x→0
t
Exercice 14. ( !) Déterminer les limites suivantes.
Z 2u
Z π
2
sin x
−u sin x
b) lim
dx.
a) lim
e
dx.
+
u→+∞ 0
x2
u→0
u
c) lim
u→+∞
Exercice 15. (-) Pour tout entier naturel n non nul, montrer que
Exercice 16. (-) Pour tout f ∈
C ([0, 1], R?+ ),
on note I(f ) =
Z
0
1
Z
2
e−u
Z
0
u
et dt.
1
xn (1 − x)n dx 6
0
dt
·
f (t)
Z
0
1
2
1
.
22n
f (t) dt. Montrer que
pour tout f ∈ C ([0, 1], R?+ ), I(f ) > 1 et que cette inégalité est atteinte. I est-elle majorée ?
Exercice 17. ( !) Soit f ∈ C 1 ([a, b], R). Montrer que
Z
a
b
(b − a)2
(f (x) − f (a)) dx 6
2
2
Z
b
(f 0 (x))2 dx.
a
V - Intégrales et Dérivées
ExerciceZ 18. (-) Calculer la dérivée de la fonction dénie pour tout réel x par
ex p
f (x) =
1 + ln2 t dt.
e−x
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Calcul analytique
MPSI 1
Exercice 19. ( !) Pour tout x ∈ R?+ \{1}, on pose f (x) =
1. Prolonger f par continuité en 0 et en 1.
Z
x
x2
dt
.
ln t
2. Étudier les variations de f et donner l'allure de sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
Exercice 20. Soit f : x 7→
Z
cos2 x
sin2 x
√
arcsin( t) dt.
1. Préciser l'ensemble de dénition de f et étudier la dérivabilité de f .
2. En déduire une expression simple de la fonction f .
Exercice 21. Soient a, b deux réels strictement positifs et f : [0, a] → [0, b] une bijection croissante
de classe C 1 .
Z b
Z a
1. Montrer que
f −1 (y) dy +
f (x) dx = ab.
0
0
Z x
Z y
2. Soit (x, y) ∈ [0, a] × [0, b]. Montrer que
f (t) dt +
f −1 (u) du > xy , avec égalité si et
seulement si y = f (x).
3. Interpréter géométriquement ces résultats.
0
0
VI - Autour des formules de Taylor
x
Exercice 22. (Fonction exponentielle, -) Pour tout n ∈ N, on pose fn (x) = e−x (1 + 1!
+ x2! + · · · +
n+1
n
x
x
n! ). Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], |fn (x) − 1| 6 (n+1)! . En déduire une valeur approchée à
1
40 près de e.
2
Exercice 23. (Fonction logarithme, -) Montrer que pour tout x ∈ [−1/2, 1/2],
ln(1 + x) − (x − x2 /2 + x3 /3) 6 1/32.
En déduire une valeur approchée de ln 2.
Exercice 24. (Méthode d’intégration numérique de Simpson, !)
1. Soit g ∈ C 5 (R, R) une fonction impaire. On suppose que pour tout réel x, il existe une constante
Kg telle que pour tout t ∈ [0, x], |g (5) (x)| 6 Kg . En utilisant la formule de Taylor intégral pour
g et g 0 , montrer que
Kg 5
x
|g(x) − (g 0 (x) + 2g 0 (0))| 6
|x| .
3
180
2. Soit f est une fonction de classe C 4 sur [a, b]. On suppose qu'il existe une constante Kf telle
que pour tout x ∈ [a, b], |f (4) (x)| 6 Kf . Montrer que
Z b
b−a
a + b Kf (b − a)5
f (t) dt −
f (a) + f (b) + 4f
.
6
6
2
2880
a
Stanislas
A. Camanes

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