Devoir 3

Vendredi 19 Septembre 2014
Terminale S - Lyc´
ee Franco Australien de Canberra
Contrˆ
ole Bilan n◦ 3 de MATHEMATIQUES
CORRECTION
Dur´ee : 2 heures - Calculatrice autoris´ee
Exercice 1.
10 points
Soit f d´efinie sur ]2; +∞[ par
2x2 − 2x − 3
x−2
3
3
1
1
2x(1 − − 2 )
2x2 (1 − − 2 )
2x2 − 2x − 3
x
2x
x
2x
=
1. • f (x) =
=
2
2
x−2
x(1 − )
1−
x
x
Or, on a :
f (x) =
1
3
)=1
−
x 2x2
2
lim 1 − = 1
x→+∞
x
lim x = +∞
lim (1 −
x→+∞
x→+∞
Donc par produits et quotients de limites, on en d´eduit :
lim f (x) = +∞
x→+∞
• On a :
lim 2x2 − 2x − 3 = 1
x→2+
lim x − 2 = 0+
x→2+
Donc par quotient de limites, on en d´eduit :
lim f (x) = +∞
x→2+
2. lim f (x) = +∞ donc (Cf ) admet une asymptote verticale d’´equation x = 2.
x→2+
3. (a) Pour tous r´eels a, b, et c et pour tout x ∈]2; +∞[, on a
ax + b +
c
(ax + b)(x − 2) + c
ax2 + (b − 2a)x + (c − 2b)
=
=
x−2
x−2
x−2
c
2x2 − 2x − 3
ax2 + (b − 2a)x + (c − 2b)
⇐⇒
=
x−2
x−2
x−2
Par identification des coefficients du polynˆome du num´erateur, on obtient a = 2, b = 2 et c = 1
Donc,
1
f (x) = 2x + 2 +
x−2
Donc, f (x) = ax + b +
(b) Pour tout x ∈]2; +∞[, on d´efinit la fonction h par :
h(x) = f (x) − (2x + 2)
On a
1
=0
x−2
Donc la droite (d) d’´equation y = 2x + 2 est une asymptote oblique `a (Cf ) au voisinage de
+∞
lim h(x) = lim
x→+∞
x→+∞
(c) Pour tout x ∈]2; +∞[, h(x) > 0 donc (Cf ) est toujours au-dessus de la droite (d)
4.
2
Exercice 2.
(10 points)
Un volume constant de 2200 m3 d’eau est r´eparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’´equilibre thermique on cr´ee un courant d’eau
entre les deux bassins `
a l’aide de pompes.
On mod´elise les ´echanges entre les deux bassins de la fa¸con suivante :
• au d´epart, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1400 m3 d’eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d’eau pr´esent dans le bassin B au d´ebut de la journ´ee est transf´er´e
vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d’eau pr´esent dans le bassin A au d´ebut de la journ´ee est transf´er´e
vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
• an le volume d’eau, exprim´e en m3 , contenu dans le bassin A la fin du n-i`eme jour de fonctionnement ;
• bn le volume d’eau, exprim´e en m3 , contenu dans le bassin B la fin du n-i`eme jour de fonctionnement.
On a donc a0 = 800 et b0 = 1400.
1.
Un volume constant de 2200 m3 d’eau est r´eparti entre deux bassins A et B. donc
Pour tout n de N, an + bn = 2200.
2. Au d´ebut du n + 1-i`eme jour, la bassin A contient an , on ajoute 15 % du volume d’eau pr´esent
dans le bassin B soit 0, 15bn et on enl`eve 10 % du volume pr´esent dans A au d´ebut de la journ´ee :
3
an+1 = an + 0, 15bn − 0, 1an = an + 0, 15(2200 − an ) − 0, 1an = 0, 75an + 330 = an + 330
4
3
On a bien, pour tout entier naturel n, an+1 = an + 330.
4
3.
Variables
: n est un entier naturel
a est un r´eel
Initialisation : Affecter `a n la valeur 0
Affecter `a a la valeur 800
Traitement
: Tant que a < 1100, faire :
3
Affecter `a a la valeur a + 330
4
Affecter `a n la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie
: Afficher n
4. (a) Remarque : on peut calculer les premiers termes pour avoir la raison.
Pour tout entier naturel n, on a
un+1 = an+1 − 1320
d´efinition de un
3
= an + 330 − 1320 question 2.
4
3
= an − 990
4
3
= (an − 1320)
4
3
= un
d´efinition de un
4
3
On reconnait la d´efinition d’une suite g´eom´etrique de raison .
4
Son premier terme est u0 = a0 − 1320 = 800 − 1320 = −520
3
(b) On a donc, pour tout entier naturel n, un = u0
qn
n
3
= −520 ×
.
4
Mais, par d´efinition de un , on a
n
3
.
4
5. On cherche `
a savoir si, un jour donn´e, les deux bassins peuvent avoir, au m`etre cube pr`es, le mˆeme
volume d’eau.
2200
Si ce jour arrive, on aura an = bn =
= 1100.
2
n
3
Il faut donc r´esoudre l’´equation 1320 − 520 ×
= 1100 d’inconnue n.
4
n
n
n
3
3
3
11
1320 − 520 ×
= 1100 ⇔ 520 ×
= 220 ⇔
=
4
4
4
26
n
3
Soit la suite (Vn ) d´efinie pour n ∈ N par Vn =
4
un = an − 1320 ⇔ an = un + 1320 donc an = 1320 − 520 ×
(Vn ) est une suite g´eom´etrique de premier terme 1 et de raison comprise strictement entre 0 et 1,
cette suite est donc strictement d´ecroissante.
11
11
Comme V2 >
et V3 < , on en d´eduit qu’aucun terme de cette suite ne sera exactement ´egal
26
26
11
`a
26
On v´erifie : a2 = 1027, 5 et b2 = 1172, 5 donc b2 − a2 = 145 > 1.
On v´erifie : a3 = 1100, 625 et b3 = 1099, 375 donc a3 − b3 = 1, 25 > 1.
Les deux bassins n’auront donc jamais le mˆeme volume d’eau, `a un m`etre cube pr`es.
Mais, il faut faire attention en r´epondant `
a cette question, car si l’on change la pr´ecision demand´ee,
par exemple `
a 2 m`etre cube pr`es, les bassins auront le mˆeme volume d’eau `
a la fin du troisi`eme
jour.
4

Download Report