TS9 Mathématiques DS 1 corrigé mercredi 8 octobre Exercice 1 Restitution organisée de connaissances Voir cours Exercice 2 2 h 1,5 point 3,5 points 1) Déterminer, en justifiant, la limite de la suite (un) dans les cas suivants : a) 3n  1 n(3 – 1/n) 1 3 – 1/n  On a une FI du type “ ∞/∞” , on factorise, un  2 n 3n²  n  5 n²(3  2/n  5 / n ) (3  2/n  5 / n2 ) un  or lim 3 – 1/n = 3 et lim 3  2/n  5 / n2  3 et lim 1/n = 0 donc par quotient puis produit lim un  0 n  n  b) un = n²  sin(n) n² n  n  On ne peut pas conclure on ne connait pas la limite de sin(n) Pour n ∈ *, 1  sin(n)  1  1   sin(n)  1  n² 1  n  sin(n)  n² 1  n²  1 1 n²  1 1  lim 1   1 et lim  lim 1   1 n  n² n  n  n² n  n² n² Donc par encadrement on déduit que lim un  1 n²  1 n  sin(n) n² 1   n² n n lim Or n  c) un  4  (2)  4 On ne peut pas conclure on ne connait pas la limite de (-2)n . n un  4n (1  ( n 2 n 4 1 4 1 1 )  n )  4n (1  ( )n  n ) or lim 4n   car q= 4 >1 et lim ( )n  0 car -1<  <1, par n  n  2 4 2 2 4 4 opérations on obtient : lim un   n  Exercice 3 1) 3 points f(x)  (3x3  x)5 , I = . f dérivable sur ℝ car c’est un polynôme On utilise (un)‘ = nu’un-1 avec u(x) = 3x3-x et u’(x) = 9x²-1 f'(x)  5(9x²  1)(3x3  x)4 2) g(x)  5  x , I =]-∞ ; 5[. f est dérivable sur ]-∞ ; 3[ car 5 –x > 0 pour x < 5. On utilise ( u )’ = f'(x)  3) u' 2 u avec u(x) = 5-x et u’(x) = -1 1 2 5x 1 1 ,I=] ; + ∞[ 2 3 (3x  1) h(x)  f est dérivable sur I car c’est une fonction rationnelle et 3x-1 ne s’annule pas sur I '  1  u'  = -n n 1 avec n= 2, u(x) 3x–1 et u’(x) = 3 n u u  On utilise  Donc f'(x)  2 3 6  4 (3x  1) (3x  1) 4 Page 1 sur 3 Exercice 4 2 points Dans un repère orthonormé du plan, on note C la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)  3x  2 et d la droite d’équation y  3 x  0, 45 . 2 La droite d est-elle tangente à la courbe C ? Comme le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente on résout l’équation Pour x >3/2 f est dérivable, on utilise ( u )’ = 3 2 3x  2  3 càd 2 u' 2 u f'(x)  3 . 2 avec u(x) = 3x-2 et u’(x) = 3. Soit à résoudre : 3x  2  1 d’où 3x – 2 = et x = 1. Vérifions alors que le point de C d’abscisse 1 est aussi un point de d. f(1) = 1 mais 3/2 – 0.45 ≠1. Bilan : la droite d n’est pas tangente à la courbe. Exercice 5 10 points On considère la suite numérique  vn   v0  1  définie pour tout entier naturel n par  9 .  vn1  6  v n  Partie A 1. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Vous le recopierez sur votre copie. Variables n entier naturel v est un réel Initialisation Lire n v prend la valeur Traitement Pour i variant de 1 1 à n Afficher v v prend la valeur Fin pour 9/(6-v) Afficher v Sortie 2. Utiliser cet algorithme pour donner sous forme de tableau les termes de la suite du rang 0 au rang 9 arrondis à 10-3 près. rang 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Valeur de v 1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714 3. Pour n = 100, les derniers termes affichés sont : 2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite 2,969  vn  2,969 2,970 2,970 2,970 ? Il semble que la suite soit croissante et converge vers 3 Page 2 sur 3 3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0  vn  3 . Initialisation : A-t-on « 0 < v0 < 3 » ? or v0 = 1 donc l’encadrement est vrai. Hérédité : On suppose qu’à un certain rang n 0 < vn <3 montrons que 0 < vn+1 < 3. Comme 0 < vn < 3 alors -3 < - vn < 0 et 3 < 6 - vn < 9, par rgt des inverses et multiplication par 9 (positif) on a : 9/9 < 9/( 6 - vn ) < 9/3 soit 1 < vn+1 < 3. Donc la proposition est vraie au rang suivant. Conclusion. L’encadrement est vrai au rang 0, la proposition est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel. b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn1  vn  vn 1  vn   3  vn 2 . La suite 6  vn  vn  est-elle monotone ? 9  vn (6  vn ) (vn  3)² 9 . Puisque le numérateur est positif, que pour tout entier naturel  vn   6  vn 6  vn 6  vn vn < 3 donc 6 - vn > 0 , alors le quotient est positif et la différence est positive donc la suite (vn) est croissante. c. Démontrer que la suite La suite  vn   vn  est convergente. est croissante et majorée par 3, d’une propriété du cours on déduit qu’elle est convergente vers un réel L inférieur ou égal à 3. Partie B Recherche de la limite de la suite  vn  On considère la suite 1. Démontrer que  wn   wn  définie pour tout n entier naturel par wn  1 . vn  3 1 est une suite arithmétique de raison  . 3 On forme wn+1 – wn pour montrer que cette différence vaut -1/3 wn 1  wn   1 1   vn 1  3 vn  3 1 9 3 6  vn  6  vn 1 1   vn  3 9  3(6  vn ) vn  3 6  vn 6  vn 3  vn 1 3 1      9  3vn vn  3 9  3vn 3(vn  3) 3vn  9 3 2. En déduire l’expression de  wn  , puis celle de  vn  Du cours on sait que wn = w0 + nr soit Comme wn  2n  3 1 1 3  2n . Donc wn   wn    n  6 2 3 6 6 1 1 6 1 3 alors vn  3  et vn  3  3 soit vn   vn  3 3  2n wn wn 3  2n 2. Déterminer la limite de la suite lim  n  en fonction de n.  vn  6  0 , par somme lim vn  3 . n  3  2n Page 3 sur 3