Révisions : Développements limités, équivalents et applications

`re anne
´e Licence Portail SF - Sem 2
Univ. Nice Sophia Antipolis - 1e
Analyse II - Feuille 01
R´
evisions : D´
eveloppements limit´
es, ´
equivalents et applications
1. Pour chacune des fonctions f ci-dessous, calculer f (a), f 0 (a) et f 00 (a), et en d´eduire le d´eveloppement
limit´e de f au voisinage de a `
a l’ordre 2.
(b) f (x) = e2x − e−x + x2 (a = 1),
(a) f (x) = ecos(x) (a = π),
(c) f (x) = ln(x) + cos(x) (a = π).
2. D´eveloppements limit´es d’ordre n au voisinage de 0, des fonctions suivantes :
(d) f (x) = ex ln(1 + x), n = 3,
(a) f (x) = sin x cos 2x, n = 6,
(b) f (x) =
(c) f (x) =
sin x−1
cos x+1 ,
√
(e) f (x) = ecos x , n = 3,
n = 2,
(f) f (x) = arctan(ex ), n = 3.
3 + cos x, n = 3,
3. D´eterminer les d´eveloppements limit´es suivants :
(a) DL3 (π/4) de sin x,
ln x
x2 ,
(b) DL4 (1) de
(c) DL5 (0) de shx.ch(2x) − chx.
4. D´eterminer les limites suivantes :
1
1
− ,
sin2 x x2
1
1
(b) lim −
,
x→0 x
ln(1 + x)
(a) lim
x→0
(1 + x)1/x − e
.
x→0
x
(c) lim
5. D´eterminer les limites suivantes :
2x + 3x 1/(2−x)
)
,
x→2 2x+1 + 5x/2
ln(1 + x) x ln x
)
,
(b) lim (
x→+∞
ln x
x
x
x −a
(c) lim
(a > 0).
x→a arctan x − arctan a
(a) lim (
6. D´eterminer un ´equivalent simple des fonctions propos´ees au voisinage de 0 :
(a) x(2 + cos x) − 3 sin x,
(b) xx − (sin x)x ,
(c) arctan(2x) − 2 arctan(x).
7. D´eterminer un ´equivalent simple des fonctions propos´ees quand x → +∞ :
4
ln(3+x )
(a) −5x3 + πx4 − ln(2),
(f) ln(3)+2
ln(x2 ) ,
√
x+1
(b) 2ex − 13 x12 + 2 ln(x),
(g) eex−1+ln(x)
+x+1 ,
(c) ln(x + 2),
(h) e2x − 9e
(d) x2 + 8x2 ln(x) +
(e) e2x+3 − e2x − 9,
2x
ln(x) ,
(j)
√
x
(i)
2√
x2 x
− ln(3x),
sin(x)
x3
−
π
x
−
+
4
√
,
x x
12
ln(x)
8. Calculer les limites des suites suivantes :
n5 +n3
n5 +n2 +1 ,
(e) n sin( n12 ),
√
√
n
(b) sin
(f) n + 1 − n,
n2 ,
q
q
2
(c) n nsin(n!)
,
(g)
n(
4
+
−
4 − n32 ),
2 +1
n
√
√
3
(h) (n3 + 2n)1/3 − n2 + 3.
(d) n+
2
n +4 ,
(a)
− 5e−x .
2013-14

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