ECS 3
Semaine de colle no 23
2013 – 2014
du 17 au 21 mars
Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément.
1.3
Révisions
Proposition
• La colle débutera par un calcul de limite nécessitant l’utilisation d’équivalents.
• L’exercice pourra ensuite porter sur l’un des chapitres suivants :
– « Intégrales »,
– « Dénombrement »,
– « Variables aléatoires finies »,
– « Applications linéaires ».
1
• Combinaisons linéaires. Si f1 = o (g) et f2 = o (g) alors, pour tout (α, β) ∈ R2 ,
x0
x0
On retiendra : « α × o(g) + β × o(g) = o(g) »
• Transitivité. Si f = o (g) et si g = o (h), alors f = o (h).
x0
x0
x0
• Produit par une fonction. Si f = o (g) alors f h = o (gh)
x0
Dans tout ce qui suit, I est un intervalle et x0 ∈ I ou est une borne de I ; f et g
sont deux fonctions définies sur I ou I \ {x0 }. On suppose en outre que la fonction g
ne s’annule pas au voisinage de x0 (sauf éventuellement en x0 )
x0
Proposition : Fonctions de limite nulle
La définition
lim f (x) = 0 ⇐⇒ f (x) = o (1)
x→x0
x→x0
Définition
On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0 si lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
On note alors f (x) = o (g(x)) ou f = o (g).
x→x0
1.2
x0
αf1 + βf2 = o (g).
Négligeabilité
1.1
Règles de calculs
2
Equivalence
2.1
x0
La définition
Définition
Exemples de référence
On dit que f est équivalente à g au voisinage de x0 si lim
Théorème : Croissances comparées en +∞
x→x0
Soient α, β ∈ R.
1. Logarithme VS puissances. Si α, β ∈ R∗+ , alors (ln x)β =
2. Puissances VS exponentielle. Si α, β ∈ R∗+ , xα =
3. Puissances VS puissances. Si α < β, alors xα =
On note f (x) ∼ (g(x)) ou f ∼ (g)
o
x→+∞
o (eβx )
x→+∞
f (x)
= 1.
g(x)
x→x0
(xα )
2.2
o (xβ )
x0
Equivalence et négligeabilité
Théorème : Equivalence et négligeabilité
x→+∞
f (x) ∼ g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + o (g(x))
x→x0
x→x0
Théorème : Croissances comparées en 0
Soient α, β ∈ R.
1. Si α, β ∈ R∗+ , alors (ln x)β = o (
x→0
2. Si α < β, alors xβ = o (xα )
x→0
1
)
xα
En pratique
Pour trouver une fonction équivalente à une somme : on supprime les termes
négligeables devant les autres
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2.3
Règles de calculs
Proposition : Equivalent et existence + valeur de limite
Proposition
Si f (x) ∼ g(x) et si g(x) admet une limite en x0 (finie ou non) alors f (x) admet
x→x0
• Transitivité. Si f ∼ g et si g ∼ h, alors f ∼ h.
x0
x0
la même limite en x0 .
x0
• Produit. Si f1 ∼ g1 et si f2 ∼ g2 alors f1 f2 ∼ g1 g2
x0
x0
x0
f1 g1
1
1
∼ , en particulier
∼
f2 x0 g2
f1 x0 g1
• Puissances d’exposant CONSTANT . Si f ∼ g alors : ∀α ∈ R, f α ∼ g α .
En pratique
• Quotient, inverse. Si f1 ∼ g1 , f2 ∼ g2 alors
x0
x0
x0
Ce résultat permet d’utiliser les équivalents pour lever des formes indéterminées.
x0
(sous réserve que tous les termes aient un sens)
• Equivalence avec une constante. Si l ∈ R∗ alors : f (x) ∼ l ⇐⇒ f (x) −→ l
x→x0
3
x→x0
j Propriétés FAUSSES j
1. Somme. Si f1 ∼ g1 et si f2 ∼ g2 alors f1 + f2 ∼ g1 + g2
x0
x0
x0
2. Composition. Si f ∼ g, alors φ ◦ f ∼ φ ◦ g en particulier le célèbre f ∼ g,
x0
x0
x0
donc ef ∼ eg
x0
3. Puissances d’exposant non constant. Eviter le célèbre : 1 +
x
donc 1 + 1x
∼ 1x = 1.
1
∼
x x→+∞
1
x→+∞
2.4
Proposition : Equivalents classiques
• Polynômes.
– Un polynôme est équivalent en ±∞ à son monôme de plus haut degré.
– Un polynôme est équivalent en 0 à son monôme de plus bas degré.
• Equivalents classiques en 0 :
ex − 1 ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
(1 + x)α − 1 ∼ αx
sin x ∼ x
x→0
x2
x→0 2
x→0
x→0
Définition
Soient u et v deux suites réelles. On suppose que v ne s’annule pas à partir d’un
certain rang.
u
• On dit que u est négligeable devant v si lim n = 0.
n→+∞ vn
On note alors un = o(vn ).
u
• On dit que u et v sont équivalentes si lim n = 1. On note alors un ∼ vn .
n→+∞ vn
Toutes les propriétés vues pour les fonctions s’adaptent au cas des suites. De
plus :
• Pour tout réel q, qn = o(n!).
1
• Pour tout α > 0 et tout q ∈ ]−1 , 1[, qn = o( α ).
n
Equivalents : un outil pour la recherche de limites
1 − cos x ∼
Cas particulier des suites
x→0
tan x ∼ x
x→0
L’adresse de la page des maths est : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html
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