DS 2 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2014-2015
Devoir surveillé n˚ 2
La calculatrice est interdite. L’épreuve dure 4h avec sortie définitive interdite avant 3h30 d’épreuve.
Le sujet comporte 4 exercices et un problème totalement indépendants entre eux. Vous encadrerez vos résultats. La notation tiendra compte de la rédaction du candidat et de la longueur du sujet.
Vous avez le droit d’admettre une question pour traiter les questions suivantes.
Exercice 1 : Questions de cours et applications directes
1. (a) Donner la définition d’une fonction bijective.
(b) Soit f, g ∈ F(R, R). On les suppose bijective.
Compléter : (g ◦ f )−1 = ........ Prouver le résultat.
2. Aucune justification n’est attendue. Recopier et compléter :
∀x ∈ ....., arcsin0 (x) = ........
∀x ∈ ....., arctan0 (x) = .......
3. Aucune justification n’est attendue dans cette question.
Développer : cos(a + b) = ......
Factoriser : sin(a) + sin(b) = .....
√
4. Résoudre sur C : z 8 = 2 + 2i 3.
−
−
Placer les solutions dans le repère orthonormé (O, →
u,→
v ). Lors de la construction des points, vous ferez
apparaitre les éléments géométriques pertinents pour leur construction.
√
2 ≈ 1.41.
√
1. Résoudre dans C l’équation : z − 2z 2 + 4 = 0.
On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution.
Exercice 2 : Donnée numérique :
2
2. (a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2 .
2
z1
(b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe
.
z2
−
−
3. Dans le plan complexe rapporté au répère orthonormal direct (O, →
u,→
v ) (unité 1 cm pour
√ les copies petit
2(1 + i), le point
carreaux et 1 carreau pour les copies à grand carreau),
on
considère
le
point
M
d’affixe
1
√
√
2
M2 d’affixe 2(1 − i) et le point A d’affixe zA =
.
2
(a) Déterminer l’affixe z3 du point M3 image de M2 par l’homothétie h de centre A et de rapport −3.
−π
(b) Déterminer l’affixe z4 du point M4 image de M2 par la rotation de centre O et d’angle
.
2
(c) Placer dans le même repère les points A, M1 , M2 , M3 et M4 .
z3 − z1
(d) Calculer
.
z4 − z1
(e) Soient I le milieu de [M3 M4 ] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I. Montrer que les points
M1 , M3 , M5 et M4 forment un carré.
Exercice 3 : On considère deux fonctions f et g définies par :
f (x) =
1
arctan(sh(x))
2
g(x) = arctan
et
sh(x)
1 + ch(x)
1. Question de cours : Rappeler puis prouver, la relation liant, pour tout réel x, ch(x)2 et sh(x)2 .
2. Préciser et justifier le domaine de définition de f et g.
3. Préciser les points où f est dérivable et donner une expression simplifiée de f 0 (l’expression obtenue ne fera
intervenir que la fonction ch).
4. Faire de même avec la fonction g. On détaillera les calculs effectués.
5. En déduire que f = g.
6. Deux applications de l’égalité entre f et g.
1
1
ln 3 et de sh
ln 3 .
(a) Donner une expression simple de ch
2
2
1
M.Bousquet - Lycée Camille
PCSI - 2014-2015
Vernet
1
1
(b) En écrivant f
ln 3 = g
ln 3 , la tangente de quel "angle" peut-on calculer ?
2
2
(c) Résoudre l’équation sh(x0 ) = 1.
Puis, en comparant f (x0 ) et g(x0 ), en déduire la tangente d’un autre "angle".
Exercice 4 : Soit A, B, C, D quatre points distincts du plan, on considère les points E, F, G, H tels que les triangles
EAB, F BC, GCD et HDA soient respectivement rectangles isocèles de sens direct en E, F, G, H (cad : EAB est
−→ −−→
π
isocèle rectangle en E et (EA, EB) = ).
2
1. Construire une figure réalisant la description ci-dessus.
2. Exprimer l’affixe zE de E en fonction de zA et zB .
3. De la même façon exprimer les affixes de zF de F ,zG de G et zH de H en fonction des affixes zA , zB , zC et
zD des points A, B, C, D.
−−→ −−→
4. Montrer que EG et F H sont orthogonaux et de même norme.
Problème :
Pour tout n ∈ N∗ , on désigne fn la fonction définie par :
∀x ∈] − 1, +∞[, fn (x) = xn ln(1 + x)
On note (Cn ) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé.
Partie I : Etude de la fonction fn
1. Pour n ≥ 1, on définit la fonction hn sur ] − 1, +∞[ par :
hn (x) = n ln(1 + x) +
x
1+x
(a) Etudier les variations et le signe de la fonction hn sur l’intervalle ] − 1, +∞[. On précisera les limites
aux bornes de l’intervalle de définition.
(b) Justifier que hn est une bijection de ..... sur ..... (à compléter). Déterminer h−1
n (0).
(c) Cette question est indépendante du reste de l’exercice
Déterminer une équation de Tn , la tangente au graphe de hn au point d’abscisse x = 1. Puis, montrer
que toutes ces tangentes (pour n ∈ N∗ ) sont concourrantes en un point que l’on précisera.
2. (a) Si n est pair, en déduire les variations de fn sur ] − 1, +∞[.
Dresser le tableau de variation en précisant les limites en −1 et +∞.
(b) Même question si n est impair.
3. Trouver deux points du plan par lesquels passent toutes les courbes (Cn ).
4. On souhaite tracer (C1 ), (C2 ) et (C3 ) sur un même schéma.
(a) Déterminer le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour x > 0.
(b) Déterminer le signe de f3 (x) − f1 (x) pour x ∈] − 1, 0[.
(c) Tracer avec (C1 ), (C2 ) et (C3 ) sur un même schéma. On représentera les tangentes au point d’abscisse
0.
Partie II : Etude d’une suite
Dans toute cette partie, seule l’étude de fn sur ]0, +∞[ est nécessaire.
1. Pour n ∈ N∗ , justifier l’existence d’un unique élément an de R∗+ vérifiant : fn (an ) = 1.
2. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , an > 1.
Indication : On pourra utiliser le tableau de variations de fn .
3. Rappeler le signe de fn+1 (x) − fn (x) pour x > 1. Comparer fn (an ) et fn+1 (an ).
4. Comparer fn+1 (an ) et fn+1 (an+1 ). En déduire que la suite (an )n∈N est strictement monotone, et préciser
son sens de variation.
Indication : Utiliser les tableaux de variation de fn et fn+1 .
1
. En déduire que lim an = 1.
5. Déterminer lim fn 1 +
n→+∞
n→+∞
n
2

Download Report