Notion de développement asymptotiques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Notion de développement asymptotiques
Exercice 1 [ 01457 ] [correction]
Former le développement asymptotique en 0 de l’expression considérée à la
précision demandée :
√
à la précision x5/2
a) ln(1+x)
x
x
b) x à la précision (x ln x)2
Exercice 2 [ 01458 ] [correction]
Former le développement asymptotique en +∞ de l’expression considérée à la
précision
demandée :
√
a) x + 1 à la précision 1/x3/2 .
b) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x à la précision 1/x2 .
x
à la précision 1/x2 .
c) x+1
x
Exercice 3 [ 03431 ] [correction]
Former le développement asymptotique quand x → +∞ de arctan x à la précision
1/x3 .
Exercice 4 [ 01459 ] [correction]
Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision
demandée :
2
a) un = ln(n
√ + 1) à√la précision 1/n
b) un = n + 1 + n − 1 à la précision 1/n2
√
√
c) un = n + n − n à la précision 1/n
1 n
d) un = 1 + n à la précision 1/n2 .
Exercice 5 [ 01476 ] [correction]
Former le développement asymptotique, en +∞, à la précision 1/n2 de
un =
1
n!
n
k!
k=0
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Corrections
2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
√
√
= x − 12 x3/2 + 13 x5/2 + o(x5/2 )
a) ln(1+x)
x
b) xx = 1 + x ln x + 12 x2 ln2 x + o(x2 ln2 x)
Exercice
2 :√[énoncé]
√
√
1
1
a) x + 1 = x 1 + 1/x = x + 12 √1x − 18 x3/2
+ o x3/2
.
1 1
11
b) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x = − ln x + 1 − 2 x + 3 x2 + o x12
x
1
1
c) x+1
= e − 2e x1 + 11e
x
24 x2 + o x2
Exercice 3 : [énoncé]
On a pour x > 0
arctan x =
donc
arctan x =
π
1
− arctan
2
x
π
1 1 1
− +
+o
2
x 3 x3
1
x3
Exercice 4 : [énoncé]
a) ln(n + 1) = ln n + n1 − 2n1 2 + o n12 .
√
√
1
1
b) n + 1 + n − 1 = √1n + 18 n5/2
.
+ o n5/2
√
√
1
1
1
1
c) n + n − n = 2 − 8√n + 16n + o n .
d) 1 +
1 n
n
=e−
e
2n
+
11e
24n2
+o
1
n2
.
Exercice 5 : [énoncé]
On a
n
n−4
1
1
1
1
k!
un =
k! = 1 + +
+
+
n!
n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)
n!
k=0
Or
n−4
0
k=0
k!
n!
k=0
n−4
k=0
(n − 4)!
n!
Donc
un = 1 +
n
1
= o(1/n2 )
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
1
1
+ 2 +o
n n
1
n2
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