Colle 08

PCSI – Colle 8 (17 au 21 novembre 2014) : Fonctions usuelles — Réels et suites numériques
Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions d’une variable réelle
ä Application — Propriétés des fonctions arccos, arcsin, arctan
1 – Définitions, notations, premières généralités. . .
Définitions et études (ensemble de définition, éventuelle parité, dérivabilité et ex-
2 – Fonctions exponentielle et logarithme népérien
pression de la dérivée, sens de variation, limites aux bornes, tangente au point
d’abscisse 0, position relative par rapport à celle-ci, asymptotes horizontales dans
3 – Fonctions logarithmes de base a
∀a∈
R∗+ ,
le cas de Carctan ) des fonctions arccos, arcsin et arctan.
b
b ln(a)
∀ b ∈ R, a = e
4 – Fonctions exponentielles de base a
Remarque. A l’aide du théorème et des deux propriétés précédentes, on peut
obtenir “presque” toutes les propriétés des fonctions circulaires réciproques, sauf
celles concernant directement la dérivabilité. Il faut donc trouver un autre biais
5 – Fonctions puissances
pour obtenir en particulier les expressions des dérivées de ces fonctions.
6 – Quelques limites de référence (croissances comparées)
ä Dérivée d’une composée, dérivée d’une réciproque
7 – Fonctions hyperboliques
Définitions et études (ensemble de définition, parité, dérivabilité et expression de
la dérivée, sens de variation, limites aux bornes, tangente au point d’abscisse 0,
position relative par rapport à celle-ci, asymptotes horizontales dans le cas de
Cth ) des fonctions ch, sh et th (voir DM3 et cours). Relation fondamentale de la
2
2
trigonométrie hyperbolique : ch − sh = 1.
8 – Fonctions circulaires réciproques
ä Propriétés des bijections et de leurs réciproques
Théorème. Si f : I −→ R est une fonction définie sur un intervalle I, continue et
strictement monotone, alors f réalise une bijection de I sur f (I).
Remarque. L’énoncé ci-dessus est une traduction avec le vocabulaire introduit
cette année du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), que vous avez vu en
soit a un réel dans l’intervalle I. Si f est dérivable en a, et g est dérivable en f (a),
0
alors g ◦ f est dérivable en a et : (g ◦ f ) (a) = g 0 (f (a)) × f 0 (a) .
Remarque. Ce théorème permet en particulier de retrouver des formules de déu0
0
0
;
rivées qui vous sont familières depuis l’an dernier : (eu ) = u0 eu ; (ln u) =
u
0
(cos u) = −u0 sin u. . . Mais aussi d’en construire des nouvelles : (chu) = u0 sh (u) ;
u0
0
(thu) = 2 . . .
ch u
Corollaire. Soit f : I −→ f (I) une bijection, et soit a un réel de I. Si
f est dérivable en a, et si f 0 (a) 6= 0, alors f −1 est dérivable en f (a) et :
0
1
f −1 (f (a)) = 0
.
f (a)
Application 1. La fonction arccos est dérivable sur ] − 1; 1 [ , et
Terminale.
Propriété. Si f : I −→ f (I) est continue et strictement monotone, alors f est
bijective et f
Théorème. Soient f : I −→ J et g : J −→ R deux fonctions à valeurs réelles, et
−1
∀ x ∈ ] − 1; 1 [ , arccos0 x = √
est strictement monotone, de même montonie que f .
Remarque. L’énoncé signifie que si f est continue et strictement croissante (resp.
décroissante), alors f est bijective et f −1 est strictement croissante (resp. décroissante).
Application 2. La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1; 1 [ , et
∀ x ∈ ] − 1; 1 [ , arcsin0 x = √
Propriété. Soit I une partie de R symétrique par rapport à zéro. Si f : I −→ f (I)
est bijective et impaire, alors f −1 est impaire.
Remarque. Attention à ne pas tenter de créer un énoncé analogue où l’on remplacerait “impaire” par “paire” ! Euh. . . Pourquoi, au fait ?
−1
1 − x2
1
1 − x2
Application 3. La fonction arctan est dérivable sur R, et
∀ x ∈ R, arctan0 x =
1
1 + x2
Fonctions usuelles - Réels et suites numériques
2
Chapitre 6 : Réels et suites numériques
relation réflexive, transitive mais pas antisymétrique.
1 – Réels
2 – Majorants, minorants, etc. . .
Brefs rappels sur les ensembles de nombres, en particulier la chaîne d’inclusions
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Propriété : la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est
un irrationnel (remarque : on ne peut en général rien dire sur la somme de deux
Définitions. Pour une partie A de R, définitions de majorant, minorant, plus
grand élément (noté Max A), plus petit élément (noté min A), borne
supérieure (notée sup A) et borne inférieure (notée inf A).
irrationnels).
R est muni d’une relation d’ordre 6 qui est réflexive (∀ x ∈ R, x 6 x), an-
Définitions (induites par ce qui précède) : une fonction à valeurs réelles (resp. une
tisymétrique (∀ (x, y) ∈ R2 , [x 6 y] ∧ [y 6 x] ⇒ [x = y]), transitive (∀ (x, y, z) ∈
suite réelle) est minorée, majorée, bornée si l’ensemble de ses valeurs (resp.
3
2
R , [x 6 y] ∧ [y 6 z] ⇒ [x 6 z]) et totale (∀ (x, y) ∈ R , [x 6 y] ∨ [y 6 x]).
de ses termes) l’est. Exemples : ch est minorée ; sh est non bornée ; arctan, arccos
Remarque. Il n’existe en revanche pas de relation d’ordre totale sur C. Sans que
et arcsin et sont bornées. L’ensemble des valeurs de arccos (et de arcsin) possède
cet exemple constitue une preuve, le réflexe assez naturel consistant à définir un
un Max et un min ; mais pas ceux de arctan (ni de th) qui possèdent des bornes
0
0
opérateur de comparaison ≺ sur C en posant z ≺ z si |z| 6 |z | donne lieu à une
supérieures et inférieures, sans avoir de plus grand ni de plus petit élément.
Questions de cours (preuves et exercices)
A l’issue de la question de cours, l’examinateur vous demandera de reproduire (sans justification) le tableau de variation d’une des 6 nouvelles fonctions usuelles (ch,
sh, th, arccos, arcsin, arctan).
ä Cours. Propriétés de la bijection réciproque : si f : I −→ f (I) est strictement croissante alors f −1 l’est ; et si f est impaire, alors f −1 l’est.
1
1
π
ä Exercice. Montrer que : arctan
+ arctan
=
2
3
4
(n + 1) x
sh
n
nx X
2
x
ä Exercice. Montrer que : ∀ x ∈ R∗ , ∀ n ∈ N :
ch (kx) =
ch
2
sh
k=0
2
Exercice. Montrer que : ∀ x ∈ R, arctan (shx) = arcsin (thx).
Exemples de questions-types
ä savoir faire l’étude d’une fonction : ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes, équations de tangentes, asymptotes, position relatives
ä savoir établir une inégalité ou une égalité à l’aide d’une étude de fonction ; pour citer un exemple récent (et célèbre) : ∀ x ∈ [−1; 1] , arccosx + arcsinx =
ä connaître et savoir utiliser la formule ∀ a ∈ R∗+ , ∀ b ∈ R, ab = eb ln(a)
ä connaître les propriétés des fonctions usuelles, ie toutes celles que vous avez vues jusqu’à présent.
0
ä savoir utiliser la formule donnant la dérivée d’une composée pour retrouver rapidement toute dérivée du formulaire (ex : (eu ) = u0 eu )
π
2

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