Série :
LIMITE ET CONTINUITE
Niveau
4ème Sciences
Enseignant
Boukadida Tahar
Exercice 1:
1) Etudier les limites suivantes :
; lim
lim
x
lim
x
lim
x 0
; lim
x 1
; lim
x
;
; xlim
x
; lim
x
; lim
x
; lim
lim (
;
lim
x 0
x
lim
x
lim
x 1
;
2
; lim
x
;
x 5
x
; lim
x
; lim
; lim
3
x 0
lim
x 0
; lim
x
2) Déterminer le domaine de continuité de chacune des fonctions suivantes
;
;
Exercice 2 :
1. Déterminer Df le domaine de définition de la fonction f : x
2. Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.
3. Déterminer le domaine de continuité Dc de f .
4. Calculer lim
et lim
x 1
x
Exercice 3 :
Soit la fonction f définie sur IR par :
1) Montrer que f est continue en 0.
2) Justifier alors la continuité de f sur IR .
3) a. Calculer lim
x
b. Montrer que : pour tout x > 0 , 2
. Calculer alors lim
x
4) a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans [-1 , 0].
b. Donner un encadrement d'amplitude 0,25 de α.
Exercice 4 :
1. Montrer que pour tout x∈IR on a : -2 <
-1 < 0
2. Soit f la fonction définie par f(x)=
a. Prouver que f est continue sur IR.
b. Etudier lim
et lim
x
x
Exercice 5 :
1. On considère la fonction f définie sur [2 ; + ∞ [ par : f(x) =
a. Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3|
.
b. En déduire la limite de f en + ∞
2. La fonction g est définie sur IR par : g (x) =
a. Montrer que, pour tout réel x,
≤ g (x) ≤ 1 .
b. En déduire les limites suivantes : lim
x
;
lim
x
et lim
x 0
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Exercice 6 : Soit la fonction définie sur IR par : f(x)=3x+ 2 sin x
1. a-Montrer que pour tout x de IR : 3x 2
b-En déduire lim
et lim
x
3x+2
x
2. Soit la fonction g définie sur IR par : g(x)=
a- Montrer que g est continue en 0.
b- Montrer que pour tout x ∈ ]
c- En déduire lim
x
:
g(x)
. Interprète géométriquement le résultat obtenu.
3. Soit la fonction h définie sur [0 ; + ∞ [ par : h(x)=
Montrer que pour tout x ∈ ]
:
h(x)
4. Soit la fonction h définie sur
et déduire lim
x
.
par : φ(x)=
Montrer que pour tout x ∈
:
φ(x)
et déduire lim φ
x
.
Exercice 7:
1.Soit la fonction f définie par f(x)=
∈
∈
a) Etudier la continuité de f en 0.
b) Etudier suivant les valeurs de a la continuité de f en 1 et -1
c) Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur IR ?
2. Soit la fonction gdéfinie par g(x)=
Déterminer les réels m et p pour que la fonction g soit continue sur IR .
Exercice 8 :
1. Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = 4 -3x-8
a. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur ℝ une unique solution α et que α ∈ ]1 , 2[ .
b. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 0,25.
2. Soit f la fonction définie sur IR\{- , } par : f(x)=
. Montrer que f(α)= α
Exercice 9 :
Dans la figure ci-contre Γ et Γ’ sont les courbes
représentativesde deux fonctions f et g définies
respectivement sur ℝ et
.
On sait que la droite y = 0 est une asymptote à Γ’
et que Γ admet une branche parabolique de
direction celle de (yy’) au voisinage de +∞ et de −∞ .
1. a. Par une lecture graphique déterminer :
lim
, lim
, lim
et lim
x
x
x
x
b .Résoudre dans IR :
– 5f(x) + 6 = 0
c. Déterminer les réels x vérifiant E(f(x))=1
d. Dresser le tableau de variation de f.
2. Soit la fonction h : x gof(x)
a. Préciser l’ensemble de définition de h.
b. Déterminer h(x) , h(0) , h(1) et lim
.
x
3. a. Déterminer et tracer dans le même repère la courbe de la fonction définie sur ℝ par : x
b. Déterminer et tracer dans le même repère la courbe de la fonction définie sur ℝ par : x
| f(x) |
g(| x |).
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