+ f(x). - PCSI Janson de Sailly

LYCÉE JANSON DE S AILLY, PCSI
2014–2015
E XO – F ONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE .
Généralités sur les fonctions
ex
. Calculer f (−x) + f (x). Que peut-on en déduire ?
ex + 1
√
e5x + e−x
Exercice 2. Soient f (x) = 4x
et g(x) = ln(x + 1 + x2 ). Étudier leur parité après avoir précisé à chaque fois le
e −1
domaine de définition.
Exercice 1. Soit f (x) =
Exercice 3.
1. Soit f définie sur R par f (x) = x(1 − x). Montrer que la représentation graphique de f admet la
droite D : x = 21 pour axe de symétrie.
2. Soit g définie sur R par f (x) = (x − 12 )x(1 − x). Montrer que la représentation graphique de f admet le point
Ω( 21 , 0) comme centre de symétrie.
Exercice 4. Déterminer une période positive (celle qui vous semble la plus petite) de f lorsque :
1. f (x) = sin x cos x − sin x cos3 x ;
2. f (x) = sin(6x) + tan(3x) ;
3. f (x) = sin x + cos x2 . Justifier dans ce cas, que | f (x)| ≤ 2. Peut-on affirmer que M = 2 est un maximum de f ?
√
Exercice 5. Représenter graphiquement la fonction x 7→ x sur [0, +∞[, puis tracer rapidement les représentations
graphiques de :
√
√
√
√
√
√
x 7→ −x, x 7→ x + 1, x 7→ x + 1, x 7→ 1 − x, x 7→ 2 x et x 7→ 3x.
( )
πx
si x ∈ [0, 2]. Justifier que f est bien définie. Donner
Exercice 6. Soit f paire, 4-périodique telle que f (x) = sin
4
sa représentation graphique. Calculer f (3), f (2014), f (n!) pour n ∈ N.
Exercice 7. Soit f périodique, dérivable sur R. Justifier que f ′ est également périodique. Si T est une période de f ′ ,
est-ce également une période de f ? En d’autres termes, lorsqu’on dérive, peut-on obtenir une période plus petite. On
admettra qu’une fonction continue et périodique est bornée.
Exercice 8. Soit f : R → R ayant deux centres de symétrie distincts. Montrer que f est la somme d’une fonction
périodique et d’une fonction linéaire. La décompostion est-elle unique ?
Exercice 9. Déterminer toutes les fonctions à la fois périodiques et monotones.
Exercice 10. Représenter graphiquement la fonction f définie par f (x) = |x − 1| + 2|x + 2|. Résoudre graphiquement,
f (x) = 5 et f (x) ≥ 6.
Exercice 11. Soit f une application croissante de R dans R telle que f ◦ f = id. Montrer que f = id.
Exercice 12. Soit f : R → R une fonction telle que f ◦ f soit croissante tandis que f ◦ f ◦ f soit strictement décroissante.
Montrer que f est strictement décroissante.
Exercice 13. Trouver toutes les applications
∀(x, y) ∈ R2 , | f (x) + f (y)| = |x + y|.
f
définies sur R et à valeurs réelles telles que
Exercice 14. Trouver toutes les applications f définies sur R et à valeurs réelles telles que :
1. ∀x ∈ R, f (x) f (x2 − 1) = sin x ;
2. ∀x ∈ R, x f (x) + f (1 − x) = x2 + 1 ;
3. ∀(x, y) ∈ R2 , f (x) f (y) − f (xy) = x + y.
Dérivée, variations.
Exercice 15. Donner le domaine de définition, de dérivabilité puis calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1
1. f (x) = sin(2x + 1) ;
2. f (x) = 4e5x+1 ;
√
3. f (x) = x2 + 2 ;
√
4. f (x) = cos x ;
3x + 1
5. f (x) =
;
x−2
√
(
)
1 + 2x 2
10. f (x) =
;
1−x
11. f (x) = tan(2x + 3) ;
x+1
6. f (x) =
;
x+2
7. f (x) = sin(x2 ) ;
8. f (x) = (sin x)2 ;
1
9. f (x) =
;
1 + tan x
12. f (x) = 3e3x
2 −1
;
13. f (x) = ln(3x2 − 1).
Exercice 16. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1. f (x) = arctan(2x + 3) ;
2. f (x) = arctan(x2 − 1) ;
3. f (x) = arctan
√
x.
Exercice 17. Calculer f ′ en fonction de g′ dans les différents cas suivants :
1. f (x) = g(ax + b) ;
3. f (x) = g(x + g(a)) ;
2. f (x) = g(a + g(x)) ;
4. f (x) = g(x + g(x)).
Exercice 18. Étudier la dérivabilité en 0 et, s’il existe, calculer le nombre dérivé en 0 des fonctions suivantes :
{
( )

1

−6x2 + 2x + 1 si x ≥ 0

 x sin
si x , 0
3.
h(x)
=
;
;
1. f (x) = 
x
ln(1 + 2x)
si x < 0

 0
si x = 0
( )

1

{

 x2 sin
si x , 0
sin x si x ≥ 0
2. g(x) = 
;
x

4. k(x) =
;
 0
ex − 1 si x < 0
si x = 0
√
Exercice 19. Soit f la fonction définie par f (x) = 2x + |x2 − 1|.Étudier la dérivabilité de f en 0 et 1.
Exercice 20. Pour les deux fonctions suivantes, déterminer le réel m pour que la fonction f soit dérivable sur R.

 3
2
2
x−2





 x + x + (m − 2)x si x ≤ 0
si x ≥ 2
1. f (x) = 
2. f (x) = 
;
;
x + 2m
x−2


 m(x
 −2 +
2 − 4) si x < 0
si x > 0
x+1
Exercice 21. Montrer que pour x ∈ [0, 1], on a x(1 − x) ≤
1
4.
n
∑
En déduire que
k=0
4
xk (1 − x)k ≤ .
3
Exercice 22. Doit n un entier supérieur ou égal à 3.
1
1. Montrer que ∀k ∈ J2, nK, k!1 ≤ 2k−1
.
(n)
1
2. En déduire que ∀k ∈ J2, nK, kk ≤ k−1 .
n
2
(
)
1 n
∗
3. Établir alors que ∀n ∈ N , 1 + n ≤ 3.
x+m
. On note Cm la courbe représentative de fm .
x2 + 1
1. Montrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse x = 0 sont parallèles.
Exercice 23. Pour m ∈ R, on définit fm (x) =
2. Montrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse x = 1 sont concourantes.
Exercice 24. Soit la fonction
f (x) =
3x2 + ax + b
.
x2 + 1
Soit C la courbe représentative de f .
1. Déterminer le domaine de définition de f .
2. Déterminer a et b pour que la droite d’équation y = 4x + 3 soit tangente à C au point I de coordonnées (0, 3).
2
2x − 1
, montrer que f admet un centre de symétrie. Étudier les
x+1
variations de f sur son domaine de définition. Déterminer les x tels que −1 ≤ f (x) ≤ 2.
Exercice 25. Soit f définie pour x , −1 par f (x) =
ln x
Exercice 26. À l’aide d’une étude de fonction, préciser le nombre de solutions de l’équation
= m où m est un
x
paramètre.
√
Résoudre l’équation pour m = ln 2.
Exercice 27. On sait, d’après le cours, que ∀x ≥ 0, sin x ≤ x.
1. Montrer que ∀x ≥ 0, 1 −
x2
2
3
≤ cos x puis que x − x6 ≤ sin x.
( )
n
∑
k
∗
2. On définit, pour n ∈ N , un =
sin 2 . Donner un encadrement de un . En déduire que la suite (un )n∈N∗
n
k=1
converge et préciser sa limite.
( √ )
2
Exercice 28. Soit f définie par f (x) = tan(x) exp
. Déterminer son domaine de définition D f , étudier la périosin x
dicité de f . Calculer f (π − x), en déduire l’existence d’un axe de symétrie. Étudier les varirations de f (sur l’intervalle
d’étude le plus petit possible, on ne demande pas les limites aux bords). Déterminer le minimum de f sur ]0, π2 [.
Exercice 29. Calculer les dérivées première et seconde des fonctions suivantes :
1. f (x) = cos(2x) ;
2. f (x) = tan2 x ;
3. f (x) = ln(2x + 1) ;
2 −3
4. f (x) = ex
5. f (x) =
√
;
6. f (x) =
x2 − 6x + 5 ;
2x + 1
;
3x − 2
7. f (x) = sin(ax + b) où a, b ∈ R.
Exercice 30. Déterminer la dérivée ne des fonctions suivantes :
1. f (x) = 4x3 + x ;
1
3. f (x) = .
x
2. f (x) = e2x ;
Bijection réciproque
Exercice 31. Justifier que f : x 7→ x3 + x + 1 réalise une bijection de R dans R. Justifier que f −1 est dérivable sur R et
calculer f (−1 )′ (x) pour x = −1 et x = 1.
Exercice 32. Soit f définie sur R par f (x) = x4 + 3x2 + 1. Montrer que f réalise une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[.
Exprimer f −1 (y) pour y ≥ 0. Le fonction f −1 est-elle dérivable sur [0, +∞[ ? Calculer f −1 (5) et ( f −1 )′ (5).
Exercice 33. Soit f définie sur R\{3} par f (x) =
Exprimer f −1 (y) pour y ∈ R\{2}.
2x − 1
. Montrer que f réalise une bijection de R\{3} sur R\{2}.
x−3
Exercice 34. Soit f :] − 3, +∞[→ R définie par f (x) = √
1
. Montrer que f est une bijection de ] − 3, +∞]
x3 + 6x + 10
sur ]0, 1]. Déterminer f −1 (y) si y ∈]0, 1]. Quelle est la monotonie de f −1 .
Exponentielle, logarithme et puissance
Exercice 35. Résoudre :
√
1. x − 1 = x + 2 ;
2. x − 1 ≤
√
Exercice 36. Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :
3
x + 2.
1. f (x) = ln(x2 − 1) ;
7. f (x) = ln | ln x| ;
2. f (x) = ln(x + 1) − ln(x − 1) ;
1
3. f (x) =
;
ln(x + 1)
4. f (x) = ln(2x2 − 2x + 1) ;
8. f (x) = (5 − x)π ;
5. f (x) = ln(−2x2 − x + 1) ;
6. f (x) = ln(ln x) ;
9. f (x) = (−x2 + x)
√
2;
10. f (x) = (x2 − 2x + 3)−5 ;
(
)
x+1 e
11. f (x) =
.
x−2
Exercice 37. À chaque fois, donner le domaine de définition et simplifier éventuellement l’expression de f :
1
1
2
1. f (x) = e 2 ln x ;
1
4. f (x) = x ln x ;
5. f (x) = xe1−ln x ;
(
)
1 + ex
6. f (x) = ln
.
1 + e−x
2
2. f (x) = e 2 ln(1+x ) ;
3. f (x) = x − ln(xex ) ;
Exercice 38. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
√
√ x
x ;
1. ln(x + 1) = ln(2x + 5) ;
11. x
2. ln(x + 2) = 1 ;
12. 2x = 2x ;
3. ln(x + 4) + ln(x − 2) = ln(5x − 4) ;
13. 2x + 3x = 5x ;
5.
=
3
4. 2 ln x − ln(x + 1) = ln 2 ;
(ln x)2
x
2
14. ex + e1−x − e − 1 = 0 ;
− 2 ln x − 3 = 0 ;
15. e2x − 4ex + 3 = 0 ;
6. ln x > ln(2x − 1) ;
16. ex + e−x = 2 ;
7. 2 ln x − ln(5x − 6) ≤ 0 ;
8. ln(2 − x) + ln(x + 4) > ln(3x + 2) ;
17. e2x > 3 ;
9. ln(x2 − 2e2 ) = 1 + ln x ;
18. e1+ln x < 2 ;
10. e3x = 1 ;
19. e3x − 2e2x − 8ex > 0.
Exercice 39. Résoudre les systèmes suivants :
{
x + y = 55
1.
ln x + ln y = ln 700
{
ln(xy) = 4
2.
ln x · ln y = −12
Exercice 40. Résoudre x − 1 =
{
3.
{
4.
ln(x − 2) + 3 ln(y − 1) = 9
2 ln(x − 2) − ln(y − 1) = 4
ex · e2y−1 = 1
ex+2 · e y = e
√
x + 2.
Exercice 41. Montrer que pour x ∈]0, 1[, on a xx (1 − x)1−x ≥ 2.
Indication : on pourra étudier une bonne fonction.
Exercice 42. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition pour la fonction f définie par :
1
1. f (x) = e2x − 3ex − x ;
4. f (x) = xe x − 1 ;
2
2. f (x) = ex − ex − e ;
( 1
)
3. f (x) = x e x − 1 ;
5. f (x) =
ex
.
x
Exercice 43. Calculer les limites suivantes :
1. lim 3x − 2 − ln x ;
3. lim+
x→+∞
x→0
ln(1 + x2 )
2. lim
√ ;
x→+∞ 1 +
x
1
− ln x ;
x
4. lim+ tan x ln(sin x) ;
x→0
4
ex
.
x→+∞ ln x
5. lim
Exercice 44. Soit f définie sur D =] −
0+ et
π−
2 .
π π
2 , 2 [\{0}
(
)
1
par f (x) = tan x exp
. Calculer les limites de f en − π2 + , 0− ,
sin x
(
)
x−1 x
Exercice 45. Étudier les variations et les limites au bord de la fonction f définie par f (x) =
.
x
Trigonométrie hyperbolique
Exercice 46. Résoudre 4chx + 2shx − 4 = 0.
Exercice 47. Soient a et b deux réels. Montrer que : chachb =
Exercice 48. Calculer 2chx − shx lorsque x =
1
2
)
1(
ch(a + b) − ch(a − b) .
2
ln 3.
Exercice 49. Simplifier les expressions suivantes :
1. sh2 x cos2 y + ch2 x sin2 y ;
2. ch2 x cos2 y + sh2 x sin2 y.
Exercice 50. Justifier que la fonction sh est une bijection de R dans R et la fonction ch une bijectiond de R+ dans
]1, +∞[.
On note argsh et argch leur fonction réciproque respective. Montrer que :
(
)
(
)
√
√
∀x ∈ R, argshx = ln x + x2 + 1
et ∀x ≥ 1, argchx = ln x + x2 − 1 .
Préciser les dérivées de argsh sur R et argch sur ]1, +∞[.
shx
.
chx
1. Préciser la parité de th, justifier que th est dérivable sur R et calculer th′ .
Exercice 51. Pour x ∈ R, on définit : thx =
e2x − 1 1 − e−2x
=
. En déduire les limites de th en ±∞.
e2x + 1 1 + e−2x
3. Justifier que th est une bijection de R sur un intervalle I que l’on précisera. On note argth la bijection réciproque.
(
)
1
1+x
4. Montrer que argthx = ln
pour x ∈ I. Justifier que argth est dérivable sur I et préciser sa limite.
2
1−x
2. Montrer que ∀x ∈ R, thx =
1
. Donne le domaine de définition de f . Montrer que g = f|[ π2 ,π[ réalise une bijection de
sin x
[ π2 , π[ sur [1, +∞[. On note g−1 sa réciproque.
Donner le domaine de dériabilité de g−1 . Calculer (g−1 )′ . Montrer que ∀y ∈ D g−1 , g−1 (y) = π − arcsin x1 .
Exercice 52. Soit f (x) =
Exercice 53. Calculer Sn =
∑n−1
k=0
ch(a + kb) pour a, b ∈ R.
Fonctions circulaires réciproques
Exercice 54. Résoudre :
5
;
1. arcsin(x) = arcsin 45 + arcsin 13
3. arcsin x = 2 arctan x ;
2. arcsin x = 2 arcsin 45 ;
4. arccos x + arcsin(x2 − x + 1) =
√
√
Exercice 55. Montrer que arctan(2 2) + 2 arctan 2 = π.
Exercice 56. Simplifier les expressions suivantes. Préciser le domaine de validité.
5
π
.
2
√
1. 2 arctan( 1 + x2 − x) + arctan x ;
√

 1 + x2 − 1 
 ;
2. arctan 

x
(
)
1+x
3. arctan
− arctan x ;
1−x
(
)
)
(
2x
1 − x2
4. arcsin
+ arccos
;
1 + x2
1 + x2
(
)
1 − x2
5. arccos
;
1 + x2
√
2 x
6. arcsin
;
1+x
7. tan arcsin x et tan arccos x ;
8. cos arctan x et sin arctan x ;
√
√
1+x
1−x
+ arcsin
;
9. arccos
2
2
1
10. arctan shx − arccos
;
chx
11. sh f (x) et ch f (x), où f (x) = ln tan(
(
(
))
12. cos arctan sin(arctan x) .
π x
+ );
4 2
Exercice 57. Étudier l’ensemle de définition, la continuité et la dérivabilité de la fonction f et en déduire une expression
simplifiée de f (x) pour :
√
√

 1 − x 
1 − sin(x)
.
2. h : x 7→ arctan
;
1. f : x 7→ arctan 

1 + sin(x)
1+x
Exercice 58. Étudier la dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes :
)
(
(
)
1+x
1
;
1. a(x) = arcsin
3. c(x) = arctan
1−x
1 + x2
√
1 − arcsin(x)
2. b(x) =
;
4. d(x) = arctan(sh(x)).
1 + arcsin(x)
Exercice 59. Montrer
{:
1
arctan(shx) si x ≥ 0
1. arccos
=
;
− arctan(shx) si x ≤ 0
chx
π
2. arctan(shx) = 2 arctan(ex ) − .
2
Exercice 60. Résoudre arctan x + arctan x3 =
3π
.
4
Exercice 61. Résoudre arctan(x − 1) + arctan x + arctan(x + 1) =
√
Exercice 62. Résoudre arcsin(2x) − arcsin(x 3) = arcsin x.
π
.
2
(
)
2x
en étudiant sa dérivée.
1 + x2
x+y
Exercice 64. Pour x, y ∈ R tels que xy < 1, montrer que arctan x + arctan y = arctan
.
1 − xy
En déduire que :
( )
(
)
1
π
1
1.
= 4 arctan
− arctan
(formule de Machin) ;
4
5
239
n−1
∑
1
arctan
2. Sn =
= arctan n pour n ∈ N⋆ .
1 + k + k2
Exercice 63. Simplifier la fonction f définie par f (x) = arcsin
k=0
Fonctions à valeurs complexes
√
Exercice 65. Calculer rapidement les dérivées successives de f (x) = ex cos( 3x).
Exercice 66. Soit f définie sur R par f (x) = 2 cos xex + 3 sin xex . Trouver z = a + ib, (a, b) ∈ R2 tel que pour tout
x ∈ R, f (x) = ℜ(ze(1+i)x ). En déduire la dérivée ne de f .
6

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