Feuille n°9

PCSI 2014 - 2015
Lycée Paul Valéry
Fonctions usuelles
01.
02.
Résoudre les équations suivantes
1
a) ln(3x − 1) < ln (x + 1)
2
b) ex
d) ex − 7 + 6e− x = 0
e) e3x + 12e2x − 61ex + 48 = 0
≥1
c) e1 + ln x < ln(2)
f)
x
x
= x x
Résoudre les équations suivantes à l'aide d'un changement d'inconnue.
a) 2x + 8 − 4x ≥ 1984
c) (*)
03.
2 − 5x
3
x + 13 +
3
x − 13 = 4
b) (*) 32x − 34(15x − 1 ) + 52x = 0
144×1492x − 1498
d) (*)
= 1789
12×149x + 4 − 1498
Une certaine espèce d'animal vit dans un environnement restreint capable d’accueillir au maximum 1000 individus.
L'effectif est de 100 initialement puis se monte à P(t) = 105/(100 + 900exp(− t)) , t en années.
Donner l’allure de la courbe. Au bout de combien de temps la population atteint-elle 900 individus ? Déterminer la
fonction réciproque ?
04.
Prouver que pour x > 0, on a ln(x) ≤ x − 1 et pour tout x réel, on a ex ≥ x + 1 . Préciser les cas d'égalité (inégalités très
classiques).
05.
Calculer les limites suivantes :
sin(3x)
ln(1 + ex)
1
a) lim 2x
b) lim
c) lim
ln(1 + x2) − ln(x)
x
x@0 e −1
x@+∞
x@+∞ 2
ex − e−x
1
d) lim + xln(sinx)
e) lim
f) (*) lim
exp( x)
7
2x
x
−
4x3
x@0
x@0
x@+∞
g) (**) lim + xα exp(xβ) (discuter en fonction de α et β).
x@0
06.
(*) Déterminer la fonction réciproque de f : t ]0 , 1[ , x # (1/2)10 ; préciser la dérivée de f
07.
Etude de la fonction f (x) = ln(ex + 1). Etude des asymptotes.
08.
1) (*) Etude de x # (x − 2)
x
−1
.
x2 − 3x + 2
2) (**) Etude de f : x # (x − 1) exp(
1
)
x−3
09.
(*) Déterminer le maximum de − pln(p) − qln(q) lorsque p + q = 1, p et q dans [0,1].
10.
Prouver qu'il existe au moins un réel x tel que 2x + 4x = 5x
11.
Prouver que Arcsin(5/13) + Arcsin(3/5) < π/2.
En déduire l’égalité Arcsin(5/13) + Arcsin(3/5) = Arcsin(56/65)
12.
Résoudre
a) Arcsin(x) = Arcsin(1/3) + Arccos(1/4)
13.
b) Arcsin(x) = Arcsin(1/4) + Arccos(1/3)
Pour les équations suivantes, déterminer l’ensemble de définition de la variable x et procéder si possible par
équivalences.
a) (*) Arccos(x) = Arcsin(1 − x)
14.
b) (**) Arcsin(2x) = Arcsin(x) + Arcsin(x 2)
(*) Prouver la formule arg(x + iy) = 2Arctan(
y
) où r = |x + iy|.
r+x
EXERCICES FEUILLE N°9

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