Devoir 4

Terminale S - Lyc´
ee Franco Australien de Canberra
Mercredi 22 octobre 2014
Contrˆ
ole Bilan n◦ 4 de MATHEMATIQUES
Dur´ee : 4 heures - Calculatrice autoris´ee
Les exercices peuvent ˆetre abord´es dans n’importe quel ordre. On apportera un soin `
a la qualit´e de la r´edaction et `
a la
tenue de la copie. Un bar`eme provisoire est donn´e `
a titre indicatif afin de g´erer au mieux le temps imparti.
Exercice 1.
5 points
Commun `
a tous les candidats Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie A
Sur le graphique ci-dessous, on a repr´esent´e dans un rep`ere orthonormal, les courbes C1 et C2 repr´esentatives
de deux fonctions f1 et f2 d´efinies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
3
C1
2
1
C2
O
1
2
3
4
−1
On sait que :
— l’axe des ordonn´ees est asymptote aux courbes C1 et C2
— l’axe des abscisses est asymptote `
a la courbe C2
— la fonction f2 est continue et strictement d´ecroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[
— la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[
— la limite quand x tend vers +∞ de f1 (x) est +∞.
Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat
indiquera sur la copie la r´eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ee.
1. La limite quand x tend vers 0 de f2 (x) est :
•0
• +∞
• On ne peut pas conclure
2. La limite quand x tend vers +∞ de f2 (x) est :
•0
• 0, 2
• On ne peut pas conclure
3. En +∞, C1 admet une asymptote oblique :
• Oui
• Non
• On ne peut pas conclure
4. Le tableau de signes de f2 (x) − f1 (x) est :
x
•
+∞
0
f2 (x) − f1 (x)
+
x
•
+∞
0
f2 (x) − f1 (x)
x
−
•
0
f2 (x) − f1 (x)
+∞
+0 −
Partie B
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;~i, ~j).
On consid`ere une fonction f d´erivable sur l’intervalle [−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f (0) = −1.
• la d´eriv´ee f ′ de la fonction f admet la courbe repr´esentative C ′ ci -dessous.

O
ı
C′
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la r´
eponse.
1. Pour tout r´eel x de l’intervalle [−3, −1], f ′ (x) 6 0.
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
3. Pour tout r´eel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x) > −1.
4. Soit C la courbe repr´esentative de la fonction f .
La tangente `
a la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonn´ees (1 ; 0).
2
Exercice 2.
(5 points)
Commun `
a tous les candidats
On consid`ere la fonction f d´efinie et d´erivable sur l’ensemble R des nombres r´eels par
x
.
ex
On note C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e .
f (x) = x + 1 +
1. Soit g la fonction d´efinie et d´erivable sur l’ensemble R par
g(x) = 1 − x + ex .
Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g
aux bornes de son ensemble de d´efinition ne sont pas attendues).
En d´eduire le signe de g(x).
2. D´eterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en +∞.
3. On appelle f ′ la d´eriv´ee de la fonction f sur R.
D´emontrer que, pour tout r´eel x,
f ′ (x) = e−x g(x).
4. En d´eduire le tableau de variation de la fonction f sur R.
5. D´emontrer que l’´equation f (x) = 0 admet une unique solution r´eelle α sur R.
D´emontrer que −1 < α < 0.
6. (a) D´emontrer que la droite T d’´equation y = 2x + 1 est tangente `a la courbe C au point d’abscisse
0.
(b) Etudier la position relative de la courbe C et de la droite T .
3
Exercice 3.
(5 points)
Commun `
a tous les candidats
Partie A
On consid`ere l’algorithme suivant :
Les variables sont le r´eel U et les entiers naturels k et N .
Entr´
ee
Saisir le nombre entier naturel non nul N .
Traitement
Affecter `
a U la valeur 0
Pour k allant de 0 `a N − 1
Affecter `
a U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On consid`ere la suite (un ) d´efinie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un − 2n + 3.
1. Calculer u1 et u2 .
2. (a) D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.
(b) En d´eduire la limite de la suite (un ).
3. D´emontrer que la suite (un ) est croissante.
4. Soit la suite (vn ) d´efinie, pour tout entier naturel n, par vn = un − n + 1.
(a) D´emontrer que la suite (vn ) est une suite g´eom´etrique.
(b) En d´eduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n − 1.
5. Soit p un entier naturel non nul.
(a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n > n0 ,
un > 10p ?
On s’int´eresse maintenant au plus petit entier n0 .
(b) Justifier que n0 6 3p.
(c) D´eterminer `
a l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.
(d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donn´ee en entr´ee, affiche en sortie la valeur
du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0 , on ait un > 10p .
4
Exercice 4.
(5 points)
Commun `
a tous les candidats
Pour n entier sup´erieur ou ´egal `
a 4, on note dn le nombre de diagonales d’un polygone (convexe*) `
a
n cˆot´es.
1. D´eterminer graphiquement, d4 , d5 , d6 et d7 .
2. (a) Un exemple : Tracer un pentagone ABCDE puis ajouter un point F `a l’ext´erieur de ce pentagone.
Quelles sont les diagonales de ABCDEF qui ne sont pas diagonales de ABCDE ?
En d´eduire une relation entre d5 et d6 .
(b) Etablir de mˆeme une relation entre dn et dn+1 .
n(n − 3)
diagonales.
2
* Convexe : tout segment ayant ses extr´emit´es `
a l’int´erieur du polygone est enti`erement situ´e a
` l’int´erieur
du polygone.
3. Montrer par r´ecurrence, qu’un polygone `a n cˆot´es admet
5

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