Mathématiques 2

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Les calculatrices sont interdites
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La fonction Dilogarithme
Dans tout le probl`eme, ln d´esigne le logarithme n´ep´erien.
On consid`ere la fonction f d´eﬁnie sur ] − ∞, 1[ par :
⎧
ln(1 − t)
⎪
⎨ −
t ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[
t
.
f (t) =
⎪
⎩
1
t=0
Dans ce probl`eme, on s’int´eresse `a la fonction Dilogarithme d´eﬁnie pour tout x de [−1, 1[ par :
x
x
ln(1 − t)
L(x) = −
dt =
f (t) dt.
t
0
0
+∞
1
Dans la partie I, on calcule
. La partie II est consacr´ee a` une ´etude de la r´egularit´e de f .
k2
k=1
Dans la partie III, on d´etermine le d´eveloppement en s´erie enti`ere de L et on d´eduit ensuite le
prolong´e de L en 1. Dans la partie IV, on r´esout une ´equation diﬀ´erentielle.
Les diﬀ´erentes parties de ce probl`eme ont un lien entre elles, mais peuvent ˆetre trait´ees s´epar´ement.
+∞
1
I. Calcul de
k2
k=1
Soit g : R −→ R , p´eriodique de p´eriode 2π, telle que :
∀x ∈ ]−π, π] ,
g(x) = x.
+∞
1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) la somme de la s´erie de Fourier de g. On
Soit S : x −→ a0 +
2
k=1
admet provisoirement l’existence de cette somme, existence qui sera d´emontr´ee `a la question 4.
1. Repr´esenter graphiquement la restriction de la fonction g a` l’intervalle ]−3π, 3π].
2. Calculer pour tout n de N , la valeur de an .
2
3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , bn = (−1)n−1 .
n
4. Pour quelles valeurs de x, a-t-on l’´egalit´e S(x) = g(x) ? On pr´ecisera le th´eor`eme utilis´e,
et notamment ses hypoth`eses.
+∞
1
π2
5. En appliquant avec soin l’´egalit´e de Parseval, en d´eduire que
.
=
2
k
6
k=1
II. R´
egularit´
e de la fonction f
1.
2.
3.
4.
5.
Donner le d´eveloppement limit´e de x −→ ln(1 − x) au voisinage de 0 `a l’ordre 2.
En d´eduire que f est continue en 0.
f est-elle d´erivable en 0 ? Si oui, pr´eciser le nombre d´eriv´e f (0).
Calculer pour tout x de ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[, f (x).
Prouver que la fonction f est de classe C 1 sur ]−∞, 1[.
(On pourra a` nouveau utiliser la question 1. de cette partie)
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III. D´
eveloppement en s´
erie enti`
ere de L
On rappelle la fonction Dilogarithme d´eﬁnie pour tout x de [−1, 1[ par :
x
L(x) =
f (t) dt
0
o`
u la fonction f est de classe C 1 sur [−1, 1[ (d’apr`es la partie II).
1. D´eriv´ee de L.
1.a. V´eriﬁer que la fonction L est bien d´eﬁnie et de classe C 2 sur [−1, 1[.
1.b. D´eterminer pour tout x de [−1, 1[, L (x).
2. D´eveloppement en s´erie enti`ere de f .
2.a. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction x −→ − ln(1 − x).
2.b. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction f sur ]−1, 1[.
3. Prolongement par continuit´e de L en 1.
+∞ k
x
3.a. Montrer que L(x) =
pour tout x ∈] − 1, 1[. Rappeler le th´eor`eme utilis´e.
2
k
k=1
On rappelle le th´eor`eme radial d’Abel :
Soit une s´erie enti`ere de coeﬃcients (an ), de rayon non nul R et de somme S.
On suppose que la s´erie converge en un point x0 tel que |x0 | = R. Alors :
+∞
• si x0 = −R, alors lim + S(x) =
an (−R)n ,
x→(−R)
• si x0 = R, alors lim− S(x) =
x→R
+∞
n=0
an R n .
n=0
3.b. V´eriﬁer que le d´eveloppement de la question pr´ec´edente est encore valable en x = −1.
3.c. Montrer que L admet un prolongement par continuit´e en 1.
On note d´esormais ce prolongement L(1) = lim L(x).
x→1
x<1
1
3.d. En d´eduire que l’int´egrale impropre
0
−
1
0
ln(1 − t)
dt converge et que :
t
ln(1 − t)
π2
dt = L(1) = .
t
6
4. Application 1.
+∞
On consid`ere l’int´egrale impropre J =
0
x
dx.
ex − 1
4.a. Montrer que J converge.
4.b. Calculer en fonction de π la valeur de J.
(On peut utiliser le changement de variable t = 1 − e−x ).
5. Application 2.
1
5.a. Montrer que pour tout x ∈ [−1, 1], L(x) + L(−x) = L(x2 ).
2
(On peut par exemple d´eriver les deux membres de l’´egalit´e).
5.b. En d´eduire en fonction de π la valeur de L(−1).
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IV. Etude d’une ´
equation diﬀ´
erentielle
On se propose de r´esoudre dans [−1, 1[ l’´equation diﬀ´erentielle E :
xy + y =
1
1−x
o`
u y est une fonction r´eelle de la variable x.
On consid`ere sur [−1, 0[ ∪ ]0, 1[ l’´equation diﬀ´erentielle E :
xz + z =
1
1−x
o`
u z est une fonction r´eelle de la variable x.
K d´esigne un des deux intervalles [−1, 0[ ou ]0, 1[ .
1.
1.a. Donner la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee `a E sur K.
1.b. D´emontrer que les solutions de E sur l’intervalle K sont les fonctions z de la forme :
A
u A est une constante r´eelle.
x −→ z(x) = f (x) + o`
x
2. En d´eduire que les solutions de E sur l’intervalle K sont les fonctions y de la forme :
x −→ y(x) = L(x) + A ln |x| + B o`
u A et B sont des constantes r´eelles.
3. Soit y une solution ´eventuelle de l’´equation E sur [−1, 1[.
3.a. D´eterminer l’expression explicite de y sur [−1, 0[ et sur ]0, 1[.
3.b. En exprimant la continuit´e et la d´erivabilit´e de y en 0, d´eterminer les solutions
´eventuelles de E sur [−1, 1[.
3.c. V´eriﬁer que les fonctions ainsi d´etermin´ees conviennent.
I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 14 1324 – D’après documents fournis
Fin de l’´
enonc´
e
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