Devoir Maison 04 - Page de M. Bailloeuil

MPSI
Devoir Maison
2014-2015
Devoir Maison 04
Pour le lundi 3 Novembre 2014
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,
la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appr´eciation des copies. Les ´etudiants doivent
encadrer, dans la mesure du possible, les r´esultats de leurs calculs.
Exercice 1
−
−
Le plan est rapport´e a` un rep`ere orthonormal direct (R; →
u ,→
v ), unit´e graphique 4 cm. Dans l’ensemble
π
des nombres complexes C, i d´esigne le nombre de module 1, et d’argument .
2
z−2+i
.
On appelle f l’application, qui, a` tout nombre complexe z diff´erent de −2i, associe Z = f (z) =
z + 2i
1. (a) Si z = x + iy, x et y ´etant deux r´eels, exprimer la partie r´eelle et la partie imaginaire de Z en
x2 + y 2 − 2x + 3y + 2
fonction de x et de y. On v´erifiera que <(Z) =
.
x2 + (y + 2)2
(b) En d´eduire la nature de :
i. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un r´eel ;
ii. l’ensemble F des points M d’affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur ´eventuellement
nul.
(c) Repr´esenter ces deux ensembles.
2. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2 − i et zB = −2i. En remarquant que
z − zA
Z=
, retrouver les ensembles E et F par une m´ethode g´eom´etrique.
z − zB
0
3. Calculer |f (z) − 1| × |z + 2i|, et en d´eduire que
√ les points M d’affixe Z, lorsque le point M d’affixe
z parcourt le cercle de centre B et de rayon 5, sont tous sur un mˆeme cercle dont on pr´ecisera le
rayon et l’affixe du centre.
Exercice 2
1. D´eterminer les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’´equation Z 4 = 1 d’inconnue
Z.
4
2z + 1
2. D´eduire de la question pr´ec´edente les solutions dans C de l’´equation d’inconnue z :
=1
z−1
Exercice 3
Soit, pour x ∈ I = 0, π , les deux ´equations diff´erentielles suivantes :
(E1 ) :
(E2 ) :
y 0 sin(x) − y cos(x) = sin2 (x) ex
y 00 + y = sin(x) + 2 cos(x) ex
1. Sans int´egrer les ´equations, montrer que l’ensemble des solutions de (E1 ) est inclus dans l’ensemble
des solutions de (E2 ). (i.e. montrer que si une fonction y0 est solution de (E1 ) alors y0 est solution
de (E2 )).
y
2. (a) Justifier que si y est solution de (E2 ) alors z = x est deux fois d´erivable.
e
1
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(b) Quelle est l’´equation (E3 ) obtenue quand on remplace y par zex dans (E2 ) ?
(c) Int´egrer (E3 ) (on doit trouver z 00 + 2z 0 + 2z = sin(x) + 2 cos(x).
En d´eduire les solutions r´eelles de (E2 ), puis les solutions r´eelles de (E1 ).
3. Int´egrer directement l’´equation (E1 ). Comparer les r´esultats.
Exercice 4
2
−2x−1
On d´efinit la fonction f par f (x) = Arctan xx2 +2x−1
.
1. Pr´eciser l’ensemble D de d´efinition de f .
2. Pr´eciser les limites aux bornes de l’ensemble de d´efinition.
3. Calculer et simplifier la d´eriv´ee de f sur D.
On trouve une expression tr`es simple. la reconnaissez-vous ?
4. En d´eduire des expressions simplifi´ees de f sur chacun des intervalles de D.
5. En d´eduire 1 enfin le trac´e (C) de la courbe repr´esentative de f .
Exercice 5
2π
2 iπ
Soit le complexe j = e 3 de module 1 et argument
.
3
On note A = a + b j — (a, b) ∈ Z2 et on le munit de l’addition et de la multiplication de C.
Soit (u, v) ∈ A 2 . On dit que u divise v si et seulement si ∃z ∈ A v = u z.
1. Montrer que (A, +, ×) est un anneau commutatif et int`egre.
2. Soit U 6 le groupe des racines 6i`emes de l’unit´e.
Montrer que U 6 ⊂ A et que tout ´el´ement de U 6 a son inverse dans A.
3. Soit u = 1 + j et U = uk — k ∈ Z
(a) Montrer que U ne contient que 6 ´el´ements que l’on d´eterminera.
(b) Montrer que U est un groupe multiplicatif.
u z est le conjugu´e de z.
4. Pour tout z ∈ A, on pose N (z) = z z o`
(a) Montrer que ∀z ∈ A N (z) ∈ N.
(b) Montrer que, si u divise v, alors N (u) divise N (v) dans N.
5. Soit H l’ensemble des ´el´ements inversibles pour la multiplication de A.
(a) Montrer que z ∈ H ⇒ z = 1.
(b) En d´eduire que H = U 6 .
6. On se propose de d´eterminer tous les diviseurs de w = 1 − j.
(a) D´eterminer les solutions de l’´equation N (z) = 3
(b) En d´eduire tous les diviseurs de w.
7. Montrer que I = λw — λ ∈ A est un groupe ab´elien (pour l’addition),
et que Z ∩ I = 3 Z .
8. Soit u ∈ A . On le dit premier si et seulement si ses seul diviseurs s’´ecrivent λ ou λ u, avec λ inversible
dans A.
(a) Montrer que ω est premier.
(b) La d´ecomposition en facteurs premiers est-elle unique ?
1. De pr´ef´erence, on d´eduira ce trac´e `
a partir d’une courbe simple ´etudi´ee en cours, mais il est ´egalement possible d’utiliser
le tableau des variations
2

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