Partiel 2012 - Université Paris

´ Paris 11
Universite
´e 2012-2013
anne
L3 Physique : Parcours PAPP
Physique Statistique
Partiel du 29 octobre 2012
Dur´ee 3h
Seul le polycopi´e de cours est autoris´e.
On rappelle l’approximation de Stirling ln N ! ≈ N ln N − N quand N 1
I
Exercice : entropie d’un gaz bidimensionnel
On consid`ere un gaz bidimensionnel parfait confin´e dans une surface suffisamment
mince pour qu’on puisse consid´erer qu’elle est plate. Ce gaz est constitu´e de N mol´ecules
identiques et indiscernables et n’est soumis `a aucune force ext´erieure. L’aire de la surface
est S. Le syst`eme est isol´e et poss`ede une ´energie interne E.
1. Dans quel espace d’´equilibre thermodynamique doit-on ´etudier ce syst`eme ?
2. Donner la dimension de l’espace des phases microcanonique.
3. Donner l’expression formelle de Ω(E), le nombre de de micro-´etats correspondant aux
macro-´etats d’´energie ≤ E, en fonction des donn´ees du probl`eme et de la constante h.
4. Calculer Ω(E) (l’expression du volume d’une boule de dimension quelconque, souvent
appel´ee hypershp`ere, est dans le polycopi´e de cours et la fonction Γ v´erifie Γ(x+1) =
x! pour x ∈ N).
5. En d´eduire l’expression de l’entropie S(E), en utilisant l’approximation de Stirling.
6. En d´eduire la temp´erature moyenne du syst`eme, en fonction des donn´ees du probl`eme.
II
Probl`
eme : -Syst`
eme `
a deux niveaux-
Dans sont ´etat fondamental, la mol´ecule d’hydrog`ene H2 peut exister sous deux forme :
l’´etat ortho o`
u les spins des noyaux sont parall`eles et l’´etat para o`
u les spins des noyaux
sont antiparall`eles.
L’´etat para, qui correspond `
a un ´etat singulet de spins nucl´eaires (´etat de spin 0),
poss`ede une ´energie 1 non-d´eg´en´er´ee. L’´etat ortho, qui correspond `a l’´etat triplet de spins
nucl´eaires (´etat de spin 1), poss`ede une ´energie 2 d´
eg´
en´
er´
ee trois fois. On a 2 > 1 et
on notera = 2 − 1 .
On consid`ere dans ce probl`eme un solide compos´e de N mol´ecules d’hydrog`ene discernables et sans interaction.
A
Situation microcanonique
On consid`ere dans cette partie que le syst`eme est isol´
e. On note E son ´energie totale.
On note N1 le nombre de mol´ecules dans l’´etat para et N2 le nombre de mol´ecules dans
l’´etat ortho.
1
1. Exprimer E et N en fonction de N1 , N2 , 1 et 2 .
2. Expliquer pourquoi `
a une valeur de N1 donn´ee correspond une valeur de N2 unique
et par cons´equent un macro-´etat unique.
3. Exprimer N1 et N2 en fonction de N , E, 1 et 2 .
4. Combien il y a-t-il de mani`eres de choisir N1 parmi N ? En d´eduire que le nombre
de micro-´etats Ω(E) d’´energie E donn´ee a pour expression :
Ω(E) =
N!
3N2
N1 !N2 !
en pr´ecisant l’origine du facteur 3N2 .
5. En d´eduire l’expression de l’entropie S(E, N ), en utilisant l’approximation de Stirling.
6. En d´eduire la temp´erature moyenne T (E, N ).
7. On pose β(E, N ) = 1/(kB T (E, N )) avec kB la constante de Boltzmann. Calculer les
taux N1 /N et N2 /N en fonction de β et .
8. Montrer que
E=
B
N 1 eβ 3N 2
+
.
3 + eβ 3 + eβ Situation canonique
On dans cette partie que le syst`eme `a l’´equilibre avec un thermostat `a la temp´erature
T . On rappelle que les particules sont discernables. On notera β = 1/(kB T ).
1. Montrer que z, la fonction de partition d’une mol´ecule seule, a pour expression :
z = c1 e−β 1 + c2 e−β 2
o`
u vous pr´eciserez la valeur des constantes c1 et c2 .
2. Exprimer z en fonction de β, 1 et .
3. En d´eduire l’expression de Z.
4. Red´emontrer l’expression :
hEi = −
∂(ln Z)
.
∂β
5. Calculer E et v´erifier que l’on retrouve les mˆemes expressions des taux de remplissage
N1 /N et N2 /N (`
a ceci pr`es qu’ici β est un param`etre d’´etat macroscopique).
6. Les fluctuations de E sont donn´ees par
s
δE =
∂ 2 ln Z
,
∂β 2
Calculer δE/E. Que peut-on en conclure ?
7. On trouve exp´erimentalement que la temp´erature de solidification de l’hydrog`ene
est de 14K, tandis que /kB ' 175K. Que peut-on dire du rapport /(kB T ) pour ce
syst`eme ?
2
8. Montrer que, pour kB T , on obtient l’expression approximative suivante :
N2
= 3e−β .
N
9. On se place dans les mˆemes hypoth`eses. En d´eduire l’expression approximative de
la capacit´e calorifique Cv .
III
Probl`
eme : -Gaz dans une colonne-
On consid`ere un gaz parfait classique constitu´es de N atomes indiscernables de masse
m, confin´e dans une colonne verticale dont la section forme un carr´e de dimension L × L
(0 ≤ x, y ≤ L). La colonne est semi-infinie, les valeurs de z variant de 0 `a ∞ (0 ≤ z < ∞).
Le syst`eme se trouve `
a l’´equilibre thermodynamique, `a la temp´erature T , dans le champ
de pesanteur, si bien qu’un atome `
a la hauteur z poss`ede, en plus de son ´energie cin´etique,
une ´energie potentielle mgz. Dans tout le probl`eme, on posera D ≡ kB T /mg.
1. Quelle est la dimension de la constante D ?
´
2. Ecrire
l’expression donnant l’´energie totale d’un seul atome plac´e `a la hauteur z.
3. Calculer la fonction de partition canonique, zc , d’un atome seul en fonction L, D et
de la longueur d’onde thermique (dont vous devez redonner l’expression).
4. D´efinir et calculer la fonction de partition canonique Zc (N, L, T ) du gaz.
Exprimer le r´esultat en fonction de zc .
5. Calculer l’´energie libre Fc (N, L, T ) en utilisant l’approximation de Stirling.
6. Calculer l’´energie interne U du gaz.
7. Exprimer Fc en fonction de n1 ≡ N/L2 , et v´erifier que Fc est extensive, c’est-`a-dire
proportionnelle `
a N.
8. La densit´e de probabilit´e P (z) pour qu’un atome donn´e du gaz parfait se trouve
entre les hauteurs z et z + dz s’´ecrit sous la forme :
P (z) = A e−z/D ,
o`
u A est une constante de normalisation.
Calculer A.
9. La densit´e volumique de particules n(z) du gaz est proportionnelle `a la probabilit´e
P (z).
Calculer n(z) et trouver la relation entre n(0) et n1 .
V´erifier si celle-ci correspond `
a votre intuition dans la limite de basse temp´erature.
10. A l’int´erieur de la colonne verticale on fixe maintenant, `a la hauteur z0 , une tr`es
petite particule sph´erique de rayon a, imp´en´etrable aux atomes du gaz parfait.
(a) Quel est le volume accessible au gaz ?
(b) On appelle zc (z0 ) la fonction de partition canonique d’un atome du gaz parfait
en pr´esence de la petite sph`ere, et on supposera que l’´energie totale de chaque
atome n’est pas modifi´ee par la pr´esence de la petite sph`ere.
3
Etablir l’expression :
1
zc (z0 ) = 3
Λ
4πa3 −z0 /D
2
L D−
e
3
(on supposera la sph`ere suffisamment petite pour que l’on ait a/D 1)
(c) D´eduire sans calcul la fonction de partition canonique du gaz, Zc (z0 ) en pr´esence
de la petite particule sph´erique.
(d) On consid`ere la grandeur :
∂ [kB T ln Zc (z0 )]
∂z0
Quelle est la dimension de cette quantit´e et quelle grandeur physique peut-elle
repr´esenter ?
11. V´erifier par le calcul, que dans la limite L → ∞, N → ∞, n1 ≡ N/L2 = Cte, on
trouve :
∂ [kB T ln Zc (z0 )]
4πa3
= mg n(z0 )
∂z0
3
Interpr´eter ce r´esultat.
4

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