DM2

DM 2
PT
pour le jeudi 9 octobre 2014
Quelques consignes : Soignez la r´edaction et la pr´esentation de votre devoir. Toutes vos r´eponses doivent
ˆetre justifi´ees. Tous les r´esultats doivent ˆetre encadr´es ou soulign´es. N’h´esitez pas `
a me poser des questions
pour avancer dans la r´esolution du probl`eme.
Partie I
Pour t ≥ e, on consid`ere la fonction f d´efinie par f (t) =
1
.
t(ln t)2
1. Apr`es avoir justifi´e la d´erivabilit´e de f sur [e, +∞[, donner la valeur de f 0 (t).
´
2. Etudier
les variations de f sur [e, +∞[.
3. Donner l’allure de la courbe repr´esentative de f sur [e, +∞[.
4. D´eterminer une primitive de f sur [e, +∞[ (on justifiera
decette primitive).
Zl’existence
n
1
Que peut-on en d´eduire sur la convergence de la suite
dt
?
2
e t(ln t)
n≥3
5. D´eduire de la question pr´ec´edente la nature de la s´erie
X
n≥2
Partie II
On consid`ere la suite (Hn )n≥1 d´efinie par Hn =
n
X
1
p=1
p
1
.
n(ln n)2
.
1. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, ln(n + 1) ≤ Hn ≤ 1 + ln n.
En d´eduire un ´equivalent de Hn .
2. Montrer que la suite (Hn − ln n)n≥1 converge (on pourra ´etudier ses variations). On notera l sa limite.
3. Pour tout entier n ≥ 1, on pose γn = Hn − ln n.
D´eterminer un ´equivalent, lorsque n tend vers +∞, de γX
n+1 − γn .
Que peut-on en d´eduire pour la convergence de la s´erie
(γn+1 − γn ) ?
n≥1
Montrer que l’on peut ainsi retrouver le r´esultat du II.2.
m Palier 1 m
4. Montrer que
+∞ X
1
n=2
n
− ln
n
n−1
= l − 1.
5. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, γn − l =
+∞ X
k
1
.
ln(
)−
k−1
k
k=n+1
6. Soit un r´eel strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul n0 tel que, pour tout entier
k ≥ n0 ,
1
ln( k ) − 1 −
≤ .
k−1
k 2k(k − 1) k 2
7. Montrer que, pour tout entier n ≥ n0 ,
+∞ +∞
X
X
k
1
1
1
ln(
)
−
−
≤
.
k−1
k 2k(k − 1) k2
k=n+1
k=n+1
1
8. D´eterminer lim n Hn − ln n − l −
.
n→+∞
2n
m Palier 2 m
Magali Hillairet
1
Lyc´ee Franklin, Orl´eans

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