Première feuille d`exercices

UPMC
1M002 Suites, int´egrales, alg`ebre lin´eaire
2014-2015
Matrices (Premi`
ere feuille)
Exercice 1 ((C) Quelques sommes de Riemann, encore). D´eterminer la limite quand n tend vers +∞ de :
n
�
1.
k=1
2k
k 2 + n2
2.
n
�
k k22
en
n2
3.
k=0
�n−1 �
�
k=0
k
1+
n
�� n1
Solution : On reconnaˆıt dans tous les cas des sommes de Riemann :
� �
� 1
n
n
�
2k
2t
1 � 2 nk
n→∞
dt = ln(2).
=
−
−
−
−
→
1.
� k �2
2+1
k 2 + n2
n
t
0
+1
k=1
k=1 n
� 1
n
n
�
2
k k22
1 � k ( nk )2 n→∞
e−1
n
2.
e
=
−
−
−
−
→
tet dt =
e
.
2
n
n
n
2
0
k=0
k=1
3. Ici il faut commencer par prendre le logarithme :
�

�� n1
� 1
n−1
n
��
�
k
k n→∞
= 1
ln 
1+
ln(1 + ) −−−−→
ln(1 + t)dt = 2 ln(2) − 1.
n
n
n
0
k=0
On en d´eduit
�n−1 �
�
k=0
k
1+
n
k=1
�� n1
n→∞
−−−−→ e2 ln(2)−1 =
4
.
e
Exercice 2 ([C] Produits de matrices). On consid`ere : X =
B=
�
−1 1
0 1
�
�
1
−1

1
, D= 3
2
Quels sont les produits matriciels possibles ? Les calculer.
Solution : En regardant les tailles des matrices, les produits qu’on
AA, BB, DD.
 
� �
� �
13
−1
−2
Le calcul donne AX =
, BX =
, DZ =  7  ;
1
−1
�
�
�
�
�
�11
�
−1 3
1 −1
5 3
1
puis AB =
, BA =
, AA =
, BB =
−2
3
2
1
3
5
0


13 9 14
enﬁn DD = 11 9 14.
11 9 16
�
2
2
1


�
0
1
, Z= 2  , A=
2
3

3
1 
3
2
1
�
,
peut former sont AX, BX, DZ, AB, BA,
�
0
;
1
Exercice 3 (Matrices de rotation). Soit θ un nombre r´eel. On consid`ere la matrice
�
�
cos(θ) − sin(θ)
R(θ =
.
sin(θ) cos(θ)
� �
�
�
a
r cos(φ)
1. On consid`ere un vecteur v =
de R2 . Montrer qu’il existe r > 0 et φ ∈ R tel que v =
.
b
r sin(φ)
2. Calculer R(θ) · v.
3. Montrer que l’application R2 → R2 donn´ee par v → R(θ)v est la rotation de centre 0 et d’angle θ.
4. On consid`ere un autre nombre r´eel θ� . Calculer R(θ)R(θ� ). Quelle est l’application de R2 → R2 correspondante ?
1
2014-2015
1M002 Suites, int´egrales, alg`ebre lin´eaire
Exercice 4 (Puissance n-i`eme). On consid`ere une matrice diagonale D =
�
�
1 1
T =
.
0 1
�
a
0
UPMC
�
0
(a et b r´eels) et la matrice
b
1. Calculer par r´ecurrence les puissances n-i`emes Dn et T n .
2. Calculer la matrice X = D + T − I2 .
� n
�
n−1
�
a
(X n )12
ai bn−i−1 .
3. Montrer que X n =
, avec (X n )12 =
n
0
b
i=0
Exercice 5 (Une matrice remarquable). Soit (a, b, c) ∈ R3 , tel que a2 + b2 + c2 = 1. On pose :


ab
ac
1 + a2
M =  ab
bc  et N = M − I3 .
1 + b2
ac
bc
1 + c2
1. Montrer que N peut s’´ecrire comme produit d’une matrice colonne et d’une matrice ligne.
2. Calculer N n , o`
u n d´esigne un entier naturel.
3. En d´eduire l’expression de M n .
Exercice 6 (Produit de matrices ´el´ementaires). Calculer un produit de matrices



−5 −4 −3 −2
−1 0
1
2  et B =  2 1
Exercice 7. Dans M3,4 (R) soient A = −1 0
3
4
5
6
1 0
t
t
A puis calculer B A.
´el´ementaires Eij Ekl .

1
2
´
0 −1. Ecrire
la matrice
−1 2
Exercice 8 (La transpos´ee). Soient K = R ou C, A ∈ Mp,n (K) et B ∈ Mn,r (K).
1. Montrer que t (AB) = tB tA. (Calculer le terme d’indice (i, j) de chaque matrice.)
2. Pour tout i, j, calculer (A tA)ij . En d´eduire que si K = R et A tA = 0 alors A = 0.
Exercice 9 (La trace). Soient K = R ou C, A et B dans Mn (K).
�
�
1 2
1. Calculer tr
.
7 10
2. Montrer que pour tous s et t dans K, on a tr(sA + tB) = str(A) + ttr(B).
3. Montrer que tr(AB) = tr(BA).
4. Calculer tr(A t A).
5. En d´eduire que si K = R, alors tr(A tA) ≥ 0 et que ¸ca vaut 0 si et seulement si A = 0.
2

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