Annonces - semaine 13 - paroisses

Feuille de TD n˚16
MP Lyc´ee Clemenceau
F´evrier 2014
Exercice 1) : R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
(t2 + 1)x0 = tx + y + 2t2 − 1
(t2 + 1)y 0 = x − ty + 3t
Exercice 2) : R´esoudre les syst`emes diff´erentielles suivants :
 0
0
x = 4x − 2y
 x = −x + y
1)
y0 = x + y
y 0 = −y + z
3)
 0
z = −z + x
2)


0
x = x+y−3
y 0 = −2x + 3y + 1

x (0) = y (0) = 0
4) avec m ∈ IR
 0
 2x = (1 + m) x + (m − 1) y + (1 − m) z − 2m
2y 0 = mx + my − mz + 2m (emt − 1)
 0
2z = x − y + z + 2memt
Exercice 3) : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes en vous aidant des indications
1) (2.x + 1) .y 00 + (4.x − 2) .y 0 − 8.y = 0, chercher des solutions polynˆomiales ou exponentielles
2) (1 + x2 ) .y 00 + x.y 0 − 4.y + 3.x = 0, chercher des solutions polynˆomiales
3) x.y 00 − 2.y 0 − x.y, remarquer que y est solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre
4 `a coefficients constant ;
4) x. (x − 1) (x + 1)2 .y 00 + 2.x (x − 3) (x + 1) .y 0 − 2. (x − 1) .y = 0, effectuer le changement de
fonction inconnue z = (x + 1)2 .y
2.x
y
.y 0 +
= 0, faire un changement de variable t = arctan (x)
5) y 00 +
2
1+x
(1 + x2 )2
Exercice 4) : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes en commen¸cant par chercher une
solution d´eveloppable en s´erie enti`ere. On n’oubliera pas de pr´eciser le rayon de convergence de
la s´erie.
1) 4xy 00 − 2y 0 + 9x2 y = 0
3) y 00 + xy 0 + 3y = 0
2) 4xy 00 + 2y 0 − xy = 0
4) x(x − 1)y 00 + 3xy 0 + y = 0
Exercice 5) : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1) x2 .y 00 − 2.x.y 0 + 2.y = x4 cos (x) − 1
2) x2 .y 00 + 6.x.y 0 + 4.y =
1
1+2.x
1
Exercice 6) : R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante, sachant qu’elle admet une solution
de la forme x → eax
(2x + 1) y 00 + (4x − 2) y 0 − 8y = 0
Exercice 7) : Soit f une fonction continue et int´egrable sur IR. On consid`ere l’´equation
diff´erentielle (E) : y 0 − y + f = 0.
1) Montrer que (E) admet une unique solution born´ee sur IR. On note F cette solution.
Z +∞
Z +∞
F et
f.
2) Montrer que F est int´egrable sur IR et comparer
−∞
−∞
Exercice 8) : Soit a une fonction continue non nulle de IR a` valeurs dans IR+ .
Montrer que toute solution de l’´equation diff´erentielle y 00 + a(t)y = 0 s’annule.
Exercice 9) : Soit m ∈ IR∗+ et q ∈ C 0 IR+ , IR telle que ∀t ∈ IR+ ,
On note (E) l’´equation diff´erentielle y 00 + q(t)t = 0.
Soit f une solution non nulle de (E).
q(t) ≥ m.
1) Montrer qu’il existe p et g deux fonctions de IR+ dans IR de classe C 1 avec p > 0 telles que
f = p. cos(g) et f 0 = p. sin(g).
2) Exprimer g 0 en fonction de g et q.
3) En d´eduire que g est un C 1 diff´eomorphisme de IR+ sur g IR+ .
4) Montrer que f s’annule une infinit´e de fois.
Exercice 10) : Soit f une fonction de classe C 2 de IR dans IR telle que
∀x ∈ IR, f (x) + f 00 (x) ≥ 0.
Montrer que : ∀x ∈ IR, f (x) + f (x + π) ≥ 0.
Exercice 11) : Soit q une fonction continue et int´egrable sur [0, +∞[. Soit (E) l’´equation
diff´erentielle y 00 + q(t)y = 0.
1) Si f est une solution born´ee de (E) sur [0, +∞[, montrer que sa d´eriv´ee admet une limite
finie en +∞.
Quelle est la valeur de cette limite ?
2) Soient f et g deux solutions born´ees.
Etudier le wronskien de f et de g : W = f 0 g − f g 0 .
En d´eduire que f et g sont li´ees.
Que peut-on en conclure ?
Exercice 12) : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1) y 0 = y(1 + y)
2) 1 + xy 0 = ey
p
3) y − xy 0 = x2 + y 2
4) (x2 + y 2 )y 0 = 2xy
2
Exercice 13) : On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0 = y2 + y + 1
1) Existe-t-il des solutions de l’´equation d´efinie sur IR ?
2) R´esoudre l’´equation.
Trouver les solutions maximales et montrer qu’elles sont d´efinies sur un intervalle born´e
dont on d´eterminera la longueur.
Exercice 14) : On consid`ere le syst`eme autonome :
x0 (t) = x(t)y(t)
y 0 (t) = y(t)2 − x(t)2
1) Existe-t-il des solutions maximales born´ees non constantes ?
2) Quel est leur intervalle de d´efinition ?
3) Etudier leurs limites en +∞
On pourra utiliser z = xy
Exercice 15) : Lemme de Gronwall :
Soient f et g deux fonctions continues et a ∈ IR v´erifiant :
Z t
∀t > 0, g(t) > 0 et f (t) 6 a +
f (u)g(u) du
0
Z
Montrer : ∀t > 0, f (t) 6 a exp
t
g(u)
du.
0
Exercice 16) : Z´eros entrelac´es
Soient r et q deux fonction continues d´efinies sur I = [a, b] telles que : ∀x ∈ I, r(x) > q(x).
On consid`ere les ´equations diff´erentielles suivantes :
(E1 ) y 00 + qy = 0 ,
(E2 ) z 00 + rz = 0
1) Soit y une solution de (E1 ), x0 et x1 deux z´eros cons´ecutifs de y.
y 0 (x0 ) et y 0 (x1 ) peuvent-ils ˆetre nuls ?
Que peut-on dire de leurs signes ?
y(x) z(x) .
2) Soit z une solution de (E2 ). On consid`ere W (x) = 0
y (x) z 0 (x)
Calculer W 0 (x) et W (x1 ) − W (x0 ).
3) Montrer que z poss`ede un z´ero dans ]x0 , x1 [ ou z(x0 ) = z(x1 ) = 0.
4) Soit u une solution de (E1 ). Montrer que u est soit proportionnelle a` y, soit admet un unique
z´ero dans ]x0 , x1 [.
3
(
Exercice 17) : Soit n > 0 et (S)
2
x(t)y(t)
n 2
0
y (t) = −x (t) + y 2 (t)
x0 (t) =
1) Soit γ : t 7→ (x(t), y(t)) une solution de (S). Trouver une autre solution pr´esentant une
sym´etrie avec γ.
Peut-on avoir comme solution σ(t) = λγ(µt) ?
En d´eduire une propri´et´e g´eom´etriques des solutions maximales de (S).
2) D´eterminer les courbes du plan form´ees des points (x0 , y0 ) o`
u les solutions de (S) ont des
tangentes parall`eles aux axes (Ox) et (Oy).
En d´eduire quelques solutions particuli`eres.
3) A supposer qu’il existe Φ : I ⊂ IR → IR telle que γ(t) = (x(t), y(t)) v´erifie y(t) = Φ(x(t)),
d´eterminer Φ et en d´eduire toutes les courbes int´egrales.
Exercice 18) : Soit y une solution maximale de l’´equation y 0 = x − ey .
1) Montrer que y est d´ecroissante puis croissante.
2) Montrer que y est d´efinie jusqu’en +∞ et que sa courbe repr´esentative admet une branche
parabolique horizontale.
3) Montrer que l’intervalle de d´efinition de y admet une borne inf´erieure α non infinie et que
y tend vers +∞ lorsque x tend vers α.
Exercice 19) :
On d´efinit une suite de fonctions sur [0, 1] de la Zmani`ere suivante : f0 est la fonction constante
x
fn (t − t2 ) dt.
1 et pour tout x ∈ [0, 1] et n ∈ IN, fn+1 (x) = 1 +
t=0
1) En ´etudiant fn+1 − fn montrer que la suite (fn ) converge uniform´ement sur [0, 1]. On note
f sa limite.
2) Montrer que f est de classe C ∞ sur [0, 1]. Que valent f 0 (0) et f 0 (1) ?
´
3) Etudier
la concavit´e de f .
4) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a 1 + x ≤ f (x) ≤ exp(x).
4

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