TD6. Electrostatique MP* 14/15 Exercice 1 Champ au voisinage d’un centre de sym´etrie Un syst`eme est form´e de 4 charges ponctuelles identiques +q situ´ees aux sommets d’un carr´e de cˆ ot´e a. On note O le centre du carr´e et Ox et Oy les axes parall`eles aux arˆetes. On veut calculer le potentiel ´electrostatique en un point M(x,y,0) o` u x << a et y << a. a) En vous basant sur les sym´etries du syst`eme, tracer quelques lignes de champ. b) Par des consid´erations de sym´etrie, montrer que dans le plan (O, x, y), V(x,y) -V(0,0) est du second ordre en x et y. c) Calculer V(x,0) au second ordre. En d´eduire le champ en M proche de O. d) On place une charge Q au voisinage de O. Quel va-t-ˆetre son mouvement dans le plan xOy ? Exercice 2 Potentiel de Yukawa On consid`ere une distribution de charges `a sym´etrie sph´erique dont le potentiel s’´ecrit : V (r) = q e(−r/a) 4πo r o` u q et a sont des constantes positives. 1) D´eterminer le champ d´erivant de ce potentiel. Etudier les cas particuliers r << a et r >> a. ~ ` 2) Calculer le flux de E a travers une sph`ere de rayon r. En d´eduire la densit´e de charge ρ(r). A quoi peut correspondre cette distribution ? dQ , probabilit´e radiale. En quel point admet-elle un extremum ? La 3) D´eterminer la fonction P (r) = dr repr´esenter graphiquement. 1
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