DM9 - Anthony Mansuy

Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
DM9
Devoir maison `
a rendre le 05/01/15
La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part
importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1
Pour tout r´eel x, on d´efinit les fonctions not´ees f et g d´efinies par:
f (x) = ln(e
2x
x
− e + 1),
et
g(x) = ln
1+
√
−3 + 4ex
2
.
On note respectivement Cf et Cg leurs repr´esentations graphiques dans un rep`ere orthonorm´e (O,~i, ~j).
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f , not´e Df .
2. Justifier que f est continue et d´erivable sur Df et d´eterminer sa fonction d´eriv´ee.
En d´eduire les variations de la fonction f sur Df .
3. D´eterminer le signe de f (x) en fonction de x.
4. (a) D´eterminer la limite de la fonction f en −∞ et interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
(b)
i. Montrer que
∀ x > 0, f (x) = 2x + ln 1 − e−x + e−2x .
(1)
ii. A l’aide de l’´egalit´e (1), d´eterminer la limite de la fonction f en +∞.
iii. Toujours `
a l’aide de l’´egalit´e (1), montrer que la repr´esentation graphique de f poss`ede
une asymptote oblique en +∞ dont on donnera une ´equation.
´
iv. Etudier
la position relative de la repr´esentation graphique de f et de son asymptote
oblique.
5. D´eterminer f (Df ), f (]−∞, − ln(2)]) et f (]− ln(2), +∞[).
6. Montrer que f r´ealise une bijection de ] − ln(2), +∞[ sur un intervalle `a pr´eciser.
7. De mˆeme, montrer que f r´ealise une bijection de ] − ∞, − ln(2)] dans un intervalle `a pr´eciser.
Est-ce que f r´ealise une bijection de Df dans f (Df )?
8. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de g, not´e Dg .
9. D´eterminer le signe de g(x) en fonction de x.
10. Montrer que, pour tout x ∈] − ln(2), +∞[, g(f (x)) = x et que, pour tout y ∈ ln
f (g(y)) = y.
3
4
, +∞ ,
11. Que peut-on en d´eduire sur g? sur les repr´esentations graphiques de f et g?
12. Tracer Cf puis Cg dans le mˆeme rep`ere orthonorm´e (O,~i, ~j).
n
Exercice 2
X
k
Pour tout entier naturel et non nul n, on consid`ere Sn =
ln 1 + 2 .
n
k=1
1. L’objectif de cette question est de d´emontrer les in´egalit´es: ∀ x ≥ 0, x −
1
x2
2
≤ ln(1 + x) ≤ x.
Lyc´ee Clemenceau - Reims
ECE1
(a) On pose pour tout r´eel x positif: f (x) = x − ln(1 + x).
i. D´eterminer l’expression de la fonction d´eriv´ee f 0 puis son signe.
ii. En d´eduire les variations puis le signe de f sur R+ .
(b) De mˆeme, d´eterminer le signe de la fonction g d´efinie sur R+ par g(x) = ln(1 + x) − x +
x2
.
2
(c) Conclure.
2. Soit n un entier naturel et non nul.
k
k2
k
k
−
≤ ln(1 + 2 ) ≤ 2 .
n2 2n4
n
n
n + 1 (n + 1)(2n + 1)
n+1
(b) En d´eduire l’encadrement suivant
−
≤ Sn ≤
.
2n
12n3
2n
(a) D´eduire de la question pr´ec´edente les in´egalit´es ∀ 1 ≤ k ≤ n,
(n + 1)(2n + 1)
n+1
.
et lim
n→+∞
2n
12n3
(b) En d´eduire la convergence et la limite de la suite (Sn ).
n Y
k
4. Pour tout entier naturel et non nul n, on consid`ere Pn =
1+ 2 .
n
k=1
Faire le lien entre les suites (Sn ) et (Pn ) puis en d´eduire la convergence et la limite de (Pn ).
3. (a) Calculer les limites lim
n→+∞
2

Download Report