TES 1 Révision TVI novembre 2014 Exercice 1

TES 1
R´evision TVI
Exercice 1 :
Soit h la fonction d´efinie et d´erivable sur R, dont
on donne la courbe repr´esentative Ch .
T1 est la tangente `
a Ch au point d’abscisse 1
et T2 est la tangente `
a Ch au point d’abscisse 0.
(1) Peut-on ´etudier la continuit´e de h sur R
tout entier ?
novembre 2014
y
T2
Cf
(2) Lire h(0) ; h(−1) ; h(1) et h(2).
` partir de maintenant, on ´etudie h sur [−2; 2].
A
1
(3) Donner le nombre de solutions de
l’´equation h(x) = 0 et donner un encadrement `
a 0,5 pr`es de chaque solution.
0
x
1
T1
(4) D´eterminer h0 (0) et h0 (1).
(5) D´eterminer une ´equation de T1 et une
´equation de T2 .
(6) R´esoudre h(x) > −1.
(7) R´esoudre h0 (x) 6 0.
Exercice 2 :
On donne ci-contre la repr´esentation graphique Cf d’une fonction f d´efinie sur [0; 10].
3
2
La tangente `
a la courbe Cf au point A d’abscisse
5 est trac´ee.
Parmi les quatre courbes ci-dessous, d´eterminer
laquelle repr´esente graphiquement la fonction
d´eriv´ee en justifiant votre choix.
Toute trace de recherche sera prise en
compte.
3
2
1
−1
−2
−3
−4
−5
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Courbe 1
−1
−2
−3
−4
−5
Cf
1
A
0 1
2
3
4
Courbe 2
6
7
8
9
10
−2
−3
−4
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
−1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Courbe 3
2
1
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Courbe 4
Exercice 3 :
Dans le P´erigord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 1 `a 45 kg
de truffes par semaine durant la p´eriode de production de la truffe. Chaque kilo de truffes est
vendu 950e. On d´esigne par f (x) le coˆ
ut moyen, en euro par kg, pour x kg de truffes trait´es en
une semaine.
On estime que la fonction f est d´efinie sur [1; 45] par :
f (x) = x2 − 60x + 1250.
(1) Exprimer le coˆ
ut de production total C(x) ,en euro, pour x kg de truffes.
(2) Justifier que le b´en´efice B(x) pour x kg de truffes est donn´e, en euro, par :
B(x) = −x3 + 60x2 − 300x.
(3)
a. Calculer B 0 (x) et en d´eduire le tableau de variations de B sur [1; 45].
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b. Pour quelle quantit´e de truffes le b´en´efice du producteur est-il maximal ? Arrondir le
r´esultat a
` 100 g pr`es. Quel est alors ce b´en´efice maximal, `a 100epr`es ?
(4) On souhaite maintenant savoir quand le b´en´efice est positif.
a. D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation B(x) = 0, puis la valeur arrondie de
chaque solution `
a 0,01 pr`es.
b. D´eduire de la question pr´ec´edente et du tableau de variations de B le tableau de signes
de B.
c. Pour quelle quantit´e de truffes le producteur fait-il un b´en´efice ? Arrondir le r´esultat `
a
100 g pr`es.
Exercice 4 :
Partie A
Soit g la fonction d´efinie sur [1; 100] par :
g(x) = x3 − 1200x − 100.
(1) Calculer g 0 (x).
´
(2) Etudier
les variations de g et dresser son tableau de variations.
(3) Montrer que l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [20; 40].
(4) D´eterminer, `
a l’aide de la calculatrice, une valeur approch´ee de α arrondie au dixi`eme.
(5) D´eterminer le signe de g(x) sur [1; 100].
Partie B
Soit f la fonction d´efinie sur [1; 100] par :
f (x) = x + 50 +
(1) Calculer f 0 (x) et montrer que f 0 (x) =
1200x + 50
.
x2
g(x)
.
x3
´
(2) Etudier
le signe de f 0 (x) en utilisant les r´esultats de la question 5 de la partie A.
(3) Dresser le tableau de variations de f sur [1; 100].
(4) Donner le nombre de solutions de l’´equation f (x) = 130 sur l’intervalle [1; 100].
Partie C
Une entreprise fabrique des tee-shirts ; le coˆ
ut total de fabrication de x centaines de tee-shirt est
u C(x) est exprim´ee en
donn´e, pour x appartenant `
a [1; 100] par C(x) = x2 + 50x + 1200 + 50
x , o`
euros.
Le coˆ
ut moyen de fabrication d’une centaine de tee-shirts, lorsque x centaines sont fabriqu´ees, est
d´efinie par CM (x) = C(x)
x .
(1) D´eterminer la quantit´e de tee-shirts arrondie `a l’unit´e `a fabriquer pour que le coˆ
ut moyen
soit minimal.
(2) Pr´eciser ce coˆ
ut minimum pour une centaine de tee-shirts.

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