Analyse II — Corrigé 4

Sciences et Technologies du Vivant
Analyse II – 2015 (G. Favi)
EPFL
Analyse II — Corrig´
e4
Exercice 1.
On consid`ere la fonction:
⎧
⎪
⎪ (x2 + y 2 ) sin ( √ 21 2 )
x +y
f (x, y) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 0
si (x, y) ≠ (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Laquelle parmi les assertions suivantes est vraie:
◻ f (x, y) est continue en (0, 0) et
∂f
(x, y)
∂x
est continue en (0,0);
◻ f (x, y) n’est pas continue en (0, 0) et
∂f
(x, y)
∂x
est continue en (0, 0));
◻ f (x, y) n’est pas continue en (0, 0) et
∂f
(x, y)
∂x
n’est pas continue en (0, 0);
◻ f (x, y) est continue et d´erivable en (0, 0);
◻ f (x, y) est continue mais pas d´erivable en (0, 0).
Exercice 2. On consid`ere la fonction suivante:
⎧
3xy 2 − y 3
⎪
⎪
⎪
f (x, y) = ⎨ x2 + y 2
⎪
⎪
⎪
0
⎩
si (x, y) =/ (0, 0)
.
si (x, y) = (0, 0)
´
a) Etudier
la continuit´e de la fonction sur R2 .
b) Calculer les d´eriv´ees partielles de f . Que peut-on dire `a propos de la d´erivabilit´e de f sur R2 ∖ {(0, 0)}?
c) Calculer les d´eriv´ees directionnelles en (0, 0) et (1, 1).
d) Calculer la limite suivante en (x0 , y0 ) = (0, 0) et (x0 , y0 ) = (1, 1):
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) − f (x0 , y0 ) − ∇f (x0 , y0 ) ⋅ (x − x0 , y − y0 )
√
.
(x − x0 )2 + (y − y0 )2
Exercice 3. On consid`ere la fonction param´etrique
⎧
x2 y
⎪
⎪
f (x, y) = ⎨ (x2 +y2 )α
⎪
⎪
⎩ 0
(x, y) ≠ (0, 0),
(x, y) = (0, 0).
o`
u α > 0.
a) Trouver les valeurs du param`etre α pour lesquelles la fonction f est continue en (0, 0).
b) En utilisant la d´efinition, calculer la d´eriv´ee directionnelle en (0, 0) en fonction de α.
c) En utilisant l’expression de la d´eriv´ee directionnelle, calculer le gradient de f (x, y) en (0, 0) en fonction
de α.
d) En utilisant la d´efinition, chercher les valeurs du param`etre α pour lesquelles la fonction est d´erivable
en (0, 0).
Exercices du 11 mars 2015
Sciences et Technologies du Vivant
Analyse II – 2015 (G. Favi)
EPFL
Exercice 4. Soient x = (x, y, z), g(x) = ∥x∥, f (x) = xyz et l(t) = et .
En utilisant les r`egles de d´erivation calculer:
∇(f (x) + g(x)),
∇(f (x)g(x)),
∇(
f (x)
),
g(x)
∇(l(g(x))).
Exercice 5. Soit f (x, y) = x2 + y 2 . On consid`ere la courbe suivante:
x(t) = (x(t), y(t)) = (e−t cos(2πt), e−t sin(2πt)),
t ⩾ 0.
a) Calculer la d´eriv´ee totale de la fonction f (x(t), y(t)): par un calcul direct et par la formule
df (x(t)) ∂f dx(t) ∂f dy(t)
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
b) R´ep´eter le point pr´ecedent en utilisant la courbe:
x(t) = (x(t), y(t)) = (cos(2πt), sin(2πt)),
t ⩾ 0.
Pourquoi la valeur de la d´eriv´ee est-elle 0?
Exercice 6. Trouver l’´equation du plan tangent `a la surface z = f (x, y) = 2x2 +4y 2 au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )),
o`
u (x0 , y0 ) = (2, 1). Donner la direction normale n au graphe de f en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Exercice 7. On consid`ere la fonction
4
f (x, y) = x3 − xy 2 + y 3 − y 2 + 9
3
comme l’altitude d’une r´egion.
a) On se trouve au point P (1, 3). Dans quelle direction faut-il se diriger pour avoir la pente maximale?
Que vaut alors cette pente?
b) Si l’on se trouve au point S(2, −2), dans quelle direction faut-il aller pour suivre une courbe de niveau?
Et si l’on se dirige, `
a partir de S, dans la direction donn´ee par v = ( 45 , − 53 ), que vaut la pente?
Exercice 8. On consid`ere la surface S d’´equation z = f (x, y) = x2 + 2y 2 .
a) V´erifier que P (1, 1, 3) appartient `
a la surface.
´
b) Ecrire
l’´equation du plan tangent `
a S au point P .
´
c) Ecrire
l’´equation du plan parall`ele au plan tangent passant par l’origine.
d) Lesquels de ces points appartiennent au plan tangent `a S en P : (0,0,0), (0,-2,1), (1,1,3)?
e) Calculer la direction de pente maximale au point (2, −1). Que vaut cette pente?
Exercice 9. [Vrai ou Faux]
V
F
1) Si une fonction est partiellement diff´erentiable alors elle est continue.
◻
◻
2) Une fonction continue est partiellement diff´erentiable.
◻
◻
3) Si toutes les d´eriv´ees directionnelles de f existent, alors toutes les d´eriv´ees partielles aussi.
◻
◻
4) Si toutes les d´eriv´ees partielles de f existent alors toutes les d´eriv´ees directionnelles aussi.
◻
◻
5) Si toutes les d´eriv´ees partielles de f existent et sont lipschitziennes, alors f est continue.
◻
◻
6) Si une fonction est born´ee alors elle est partiellement diff´erentiable.
◻
◻
Exercices du 11 mars 2015

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