INTÉGRALES OSCILLANTES Exercice 1. Le but de cet

´
INTEGRALES
OSCILLANTES
´
MATHEMATIQUES
– MASTER 2 SOUSSE
Exercice 1. Le but de cet exercice est d’obtenir en dimension 1 une version
pr´ecis´ee des estimations fournies par le principe de la phase stationnaire.
Th´
eor`
eme 1. Soit k un entier sup´erieur ou ´egal `a 1, alors pour tout a, b ∈ R
avec a < b, et toute fonction ϕ de classe C ∞ sur [a, b] ⊂ R telle que |ϕ(k) (x)| ≥ 1
sur [a, b] et ϕ0 est monotone sur [a, b] si k = 1, alors l’estimation suivante est
vraie
Z b
1
iλϕ(x)
e
dx ≤ ck λ− k , λ ≥ 1
a
k−1
avec ck = 5 × 2
− 2.
(1) Commen¸cons par le cas k = 1, supposons donc que |ϕ0 (x)| ≥ 1 pour tout
a ≤ x ≤ b et que ϕ0 est une fonction monotone sur [a, b].
(a) Justifier l’in´egalit´e suivante :
Z b 00
ϕ (x) dx = 1 − 1 ≤ 1.
ϕ0 (b) ϕ0 (a) ϕ0 (x)2 a
(b) En faisant une int´egration par parties avec les fonctions ϕ0 eiλϕ et
1/ϕ0 , en d´eduire le cas k = 1.
(2) On veut prouver le th´eor`eme par r´ecurrence ; on suppose que l’estimation
est vraie dans le cas o`
u |ϕ(k) | ≥ 1 (et ϕ0 est monotone sur [a, b] si k = 1).
Soit ψ une fonction classe C ∞ sur [a, b] telle que |ψ (k+1) (x)| ≥ 1 sur [a, b].
(a) Montrer que ψ (k+1) (x) ≥ 1 pour tout x ∈ [a, b] ou bien que ψ (k+1) (x) ≤
−1 pour tout x ∈ [a, b]. Montrer qu’il suffit de consid´erer le premier
cas.
(b) On suppose `a pr´esent que ψ (k+1) (x) ≥ 1 pour tout x ∈ [a, b] et que
ψ (k) (c) = 0 pour a < c < b. Montrer que ψ (k) ne s’annule pas sur
[a, c[ et sur ]c, b].
(c) Montrer que |ψ (k) (x)| ≥ δ si |x − c| ≥ δ (´ecrire une formule de Taylor
int´egrale).
(d) En d´eduire l’estimation
Z c−δ
Z
iλψ(x)
+
e
dx
a
b
e
c+δ
1
iλψ(x)
1
dx ≤ 2ck (δλ)− k .
2
(e) En d´eduire l’estimation
Z b
1
iλψ(x)
e
dx ≤ 2ck (δλ)− k + 2δ
a
puis que l’hypoth`ese de r´ecurrence est vraie au rang k + 1 pour les
phases ψ dont la d´eriv´ee k-i`eme s’annule `a l’int´erieur de ]a, b[ (choisir
1
δ = λ− k+1 ).
(f) On suppose `a pr´esent que ψ (k+1) (x) ≥ 1 et que ψ (k) ne s’annule pas
a` l’int´erieur de ]a, b[. Montrer que |ψ (k) (x)| ≥ δ
– si x ≥ a + δ dans le cas o`
u ψ (k) ≥ 0
– si x ≤ b − δ dans le cas o`
u ψ (k) ≤ 0
(´ecrire une formule de Taylor int´egrale).
(g) En d´eduire que l’hypoth`ese de r´ecurrence est vraie au rang k +1 pour
les phases ψ dont la d´eriv´ee k-i`eme ne s’annule pas `a l’int´erieur de
]a, b[.
(3) D´eduire du th´eor`eme d´emontr´e l’estimation suivante
Z b
Z b
iλϕ(x)
− k1
0
e
ψ(x) dx ≤ ck λ
|ψ(b)| +
|ψ (x)| dx
a
a
lorsque ϕ v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme et ψ est une fonction de
classe CR1 sur [a, b] (faire une int´egration par parties et borner la primitive
x
F (x) = a eiλϕ(t) dt).
Exercice 2. Dans cet exercice, on s’int´eresse a` la transform´ee de Fourier de
la mesure surfacique d’une hypersurface S (par exemple l’hypersph`ere). Pour
simplifier, on suppose que l’hypersurface est le graphe xn+1 = f (x) d’une fonction
f : U → R de classe C ∞ d´efinie sur un ouvert U de Rn et on s’int´eresse a`
l’int´egrale
Z
I(ξ) =
e−ix·ξ−iξn+1 f (x) a(x) dx, ξ = (ξ1 , . . . , ξn , ξn+1 ) ∈ Rn+1
Rn
C0∞ (U )
o`
u a ∈
est une fonction de classe C ∞ a` support compact dans U . On
suppose ξ 6= 0, et on pose ξ = λθ avec |θ| = 1 et λ > 0.
´
(1) Ecrire
I(ξ) en fonction de λ et θ. Que peut-on dire du comportement de
I(λθ) en fonction de λ lorsque θn+1 = 0 ?
(2) On suppose θn+1 6= 0, quelle ´equation v´erifient les points critiques de la
phase x 7→ x·θ+θn+1 f (x) ? Montrer que cela signifie que θ est une normale
unitaire au graphe xn+1 = f (x) de f .
(3) On suppose maintenant que U = B(x0 , ε) est une boule centr´ee en x0
et de rayon ε et de plus que le d´eterminant det f 00 (x0 ) de la hessienne
2
f 00 (x0 ) = (∂jk
f (x0 ))1≤j,k≤n de f est non-nul. Montrer que pour ε assez
petit, et pour certaines valeurs de θ il existe un unique point critique que
l’on notera xc .
3
(4) Donner l’asymptotique de I(λθ) en fonction de λ sous les conditions de
la question pr´ec´edente.
Exercice 3. Le but de cet exercice est de donner des estimations sur la solution
de l’´equation de Schr¨odinger
(
i∂t u + ∆x u = f (t, x) t > 0, x ∈ Rn
,
u(0, x) = 0
o`
u f ∈ S(Rn ) est une fonction de la classe de Schwartz.
(1) Montrer que l’on peut calculer la transform´ee de Fourier de u en la variable
x par
Z
t
uˆ(t, ξ) =
2
e−i(t−s)|ξ| fˆ(s, ξ) ds.
0
On note alors
v(t, s, x) = (2π)
−n
Z
2
ei(t−s)|ξ| eihx−y,ξi fˆ(s, ξ).
(2) En d´eduire l’expression
Z
Z t
|x−y|2
i 4(t−s)
−n
−n/2
|t − s| 2
u(t, x) = (4πi)
f (s, y) dy ds.
e
0
(3) D´eduire des questions pr´ec´edentes les estimations suivantes
n
kv(t, s, ·)kL∞ (Rn ) ≤ C1 |t − s|− 2 kf (s, ·)kL1 (Rn )
kv(t, s, ·)kL2 (Rn ) ≤ C2 kf (s, ·)kL2 (Rn )
(4) En utilisant le th´eor`eme d’interpolation de Riesz, en d´eduire l’estimation
1
1
kv(t, s, ·)kLq (Rn ) ≤ C3 |t − s|−n 2 − q kf (s, ·)kLq0 (Rn )
avec q ≥ 2.
(5) En utilisant l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood-Sobolev, en d´eduire l’in´egalit´e
de Strichartz :
kukLq (Rn ) ≤ C4 kf kkLq0 (Rn )
avec q = 2(n + 2)/n.

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