UE Analyse math´ ematique 2 Syllabus et fascicule de travaux dirig´es Chim`ene Fischler http://famille.fischler.free.fr/ L1 Economie-Gestion, 2013-2014 Universit´e Paris 8, Vincennes - Saint-Denis Contenu du module : Le cours d’Analyse math´ematique 2 est la suite du cours d’Analyse 1 ; il revient sur les suites et s´eries, les int´egrales, et enfin aborde les fonctions de plusieurs variables. Le plan du cours est le suivant : – Chapitre 1 : Suites et s´eries. – Chapitre 2 : Int´egrales. – Chapitre 3 : Fonctions de plusieurs variables. Evaluation : – Contrˆ ole continu (40% de la note finale) : un partiel en mars 2014. – Contrˆ ole terminal (60% de la note finale) : un examen en mai 2014. Remarques importantes : 1. Les documents, notes de cours et mat´ eriels ´ electroniques (calculatrices, t´ el´ ephones portables, . . . ) sont INTERDITS aux examens ; 2. L’assiduit´ e aux cours-TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons professionnelles ´ etablie aupr` es du secr´ etariat ; 3. Les changements de groupe ne sont pas autoris´ es. Bibliographie indicative : – Analyse 1, exercices corrig´es avec rappels de cours, Jean-Pierre Lecoutre et Philippe Pilibossian, Dunod. – Analyse math´ ematique pour ´ economistes, Gabriel Archinard et Bernard Guerrien, Economica. – Math´ematiques pour ´economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck. 1 ´ries Feuille no 1 : Suites et se Exercice 1 - Pour chacune des suites (un ) ci-dessous, dire si elle converge et si oui d´eterminer la limite. −1 n n2 + 3 n2 − 3n + 1 (a) un = 2 , n ≥ 1, (b) un = , n ≥ 0, (c) u = +3, n ≥ 0. n 3n − n n2 + 1 2 Exercice 2 - Etudier la convergence des suites suivantes (d´efinies pour n ≥ 0) et d´eterminer leur limite si elle existe : un = 2n2 − 5 , n+1 vn = un , n wn = un − 2n, xn = vn − 2 . wn + 2 Exercice 3 - Notons (un )n≥0 la suite d´efinie par u0 > 0 et la relation de r´ecurrence un+1 = un . un + 1 1. D´emontrer que tous les termes de cette suite sont positifs. 2. D´emontrer que la suite (un )n≥0 est d´ecroissante. 3. D´eduire des questions pr´ec´edentes que (un ) converge. Quelle est sa limite ? Exercice 4 - D´emontrer par r´ecurrence sur n ≥ 1 les ´egalit´es suivantes : n X k = 1 + 2 + 3 + ... + n = k=1 n X k 2 = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = k=1 n(n + 1) , 2 n(n + 1)(2n + 1) . 6 Exercice 5 - D´emontrer que la suite d´efinie pour n ≥ 1 par un = (1 + n1 )n est convergente. Exercice 6 - Consid´erons la suite (un )n≥0 d´efinie par u0 = 1 et la relation de r´ecurrence un+1 = 4un + 2 . un + 3 D´emontrer que cette suite converge, puis d´eterminer sa limite. P1 P 1 Exercice 7 - D´emontrer que la s´erie erie converge. k diverge, mais que la s´ k2 Exercice 8 - Pour chacune des s´eries suivantes, d´eterminer si elle est convergente ou divergente : X X X 1 −n2 , (c) n−n n!, (a) n2−n , (b) 1+ n X an X n (d) avec a > 0, (e) avec a > 0. n 1 + an 2 ´grales Feuille no 2 : Inte x x2 +5 Exercice 1 - D´eterminer des primitives des fonctions suivantes : 2 ; xex ; 2 √x . x3 +2 Exercice 2 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant (une ou plusieurs fois) la formule d’int´egration par parties : b Z Z n ln(x)x dx avec a, b > 0 et n entier, n ≥ 0; (a) e (b) a 1 Z 4 Z 2 x x e dx; (d) π/2 Z x sin(x)dx; (e) (c) 5 xex dx; 2 1 (f ) −π/2 −3 Z ln(x) dx; x2 ex sin(2x)dx. 0 Exercice 3 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant un changement de variables : 8 Z (a) 2 (ln(t))4 dt; t √ Z (d) 0 2/2 Z π/4 (b) Z tan(x)dx (on posera u = cos(x)); −π/6 (c) 2 t3 ln(t)dt; 1 Z x √ dx (on posera x = sin(t)); 1 − x2 (e) 0 1 dx (on posera x = tan(t)). 1 + x2 Exercice 4 - Soient x0 un nombre r´eel et n un entier. Calculer une primitive de la fonction 1 egal `a 1 ou pas, et si n´ecessaire selon le signe de x − x0 . (x−x0 )n , en distinguant selon que n est ´ R 1/2 1 1 1 1 En ´ecrivant que x2 −1 = 2 ( x−1 − x+1 ), en d´eduire la valeur de l’int´egrale suivante : 0 x2dx . −1 x efinie par Exercice 5 - Notons f la fonction d´efinie sur R par f (x) = 1+x 2 , et g celle d´ R R 3 1 1 x g(x) = 1+x2 . On pose I1 = 0 f (x)dx et I2 = 0 g(x)dx. Calculer I1 et I1 + I2 ; en d´eduire la valeur de I2 . Exercice 6 - Soit a un nombre r´eel tel que a < 3. 1. D´eterminer deux nombres r´eels p et q tels que t q =p+ . 3−t 3−t Ra t 2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale 0 3−t dt. Ra 3. Calculer 0 ln(1 − 3t )dt en utilisant une int´egration par parties. Exercice 7 - Calculer l’int´egrale suivante : R1 −1 (2 3 + x)e−x dx. Exercice 8 - Etudier si les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes convergent ou non, et quand elles convergent donner leur valeur. Z +∞ x dx (a) 2+4 x 0 Z +∞ x sin(2x)dx (b) 0 +∞ Z (c) 2 te−t dt 0 Z +∞ (d) x2 e−x dx. 0 Exercice 9 - Etudier la convergence de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes, en pr´ecisant o` u se situe(nt) le(s) point(s) `a probl`eme. Mˆeme en cas de convergence, on ne demande pas de calculer la valeur de l’int´egrale. Z +∞ dt √ (a) t t2 + 2 1 Z +∞ sin2 t (b) dt t3 + 1 0 Z 1 sin t √ (c) dt t3 − t5 0 Z +∞ t3 (d) dt et − 1 0 Z +∞ √ t+1 √ dt (e) √ t + t5 0 4 Feuille no 3 : Fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - D´emontrer que la fonction f d´efinie par f (x1 , x2 , x3 ) = x21 1 + x22 + x23 tend vers +∞ quand (x1 , x2 , x3 ) → (0, 0, 0). Exercice 2 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles ∂2 ∂y 2 et ∂2 ∂x∂y ∂ ∂ ∂2 ∂x , ∂y , ∂x2 , des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = xy ln(x). 2 2. g(x, y) = ex y . 3. h(x, y) = x2 +y 2 xy . Exercice 3 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre au plus 2 de la fonction 2 ex3 f (x1 , x2 , x3 ) = 2 . x1 + x22 Exercice 4 - Calculer le gradient des fonctions suivantes : 1. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x22 + x33 . 2. g(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x22 x33 x44 . 2 3. h(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x2 ex1 + x3 ln(x4 ) . x5 Exercice 5 - Calculer la jacobienne de la fonction f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (ex1 x2 , x21 x23 , ln(x3 + x4 )). Exercice 6 - D´eterminer et discuter les points critiques de la fonction f (x, y) = x3 +y 3 −3xy. Exercice 7 - D´eterminer les extrema de la fonction f (x1 , x2 , x3 ) = x31 x3 + x32 − 3x1 x2 − 2x23 . 5
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