` rendre pour le 18 novembre 2014 A Turbulence - 3A http://acoustique.ec-lyon.fr Exercice no 6 Turbulence soumise ` a une rotation uniforme ´ 1. Ecrire les ´equations de Navier-Stokes pour un ´ecoulement incompressible dans un rep`ere R en rotation uniforme Ω = Ωx 3 autour de l’axe x 3 . On rappelle l’expression g´en´erale de l’acc´el´eration dans un rep`ere non Galil´een a ` la fin de l’´enonc´e, voir l’expression (1). 2. Montrer que le terme d’acc´el´eration centrifuge peut se regrouper avec le terme de pression, p⋆ = p − ρ o` ur= Ω2 r 2 2 x12 + x22 est la distance entre l’axe de rotation et le point courant x. ´ 3. Ecrire alors les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees, ainsi que l’´equation de transport sur le tenseur de Reynolds ρu′i u′j (cf. chap. 2 du cours). 4. En supposant que l’´ecoulement moyen soit nul dans le rep`ere tournant, que dire de l’´evolution d’une turbulence initiallement isotrope ? On consid`ere dans toute la suite un champ moyen uniform´ement cisaill´e, U 1 = Sx2 et U 2 = U 3 ≡ 0, soumis a ` partir de t = 0 a ` une rotation uniforme Ω = Ωx 3 . A l’instant initial t = 0, le champ turbulent est suppos´e homog`ene avec 2 u′2 1 = u0 , 2 ′2 u′2 2 = u3 = u0 /2 et u′1 u′2 = u′2 u′3 = u′1 u′3 = 0 o` u u0 est une constante. Dans la suite, on effectue une ´etude simplifi´ee de ce probl`eme en n´egligeant les effets visqueux, ainsi que les corr´elations pression-vitesse et les corr´elations triples du champ de vitesse : on se place ainsi dans le cadre d’une approximation lin´eaire (th´eorie de la distorsion rapide). 5. Simplifier l’´equation bilan sur u′i u′j dans le rep`ere tournant pour obtenir finalement : ∂u′i u′j ∂t + Uk ∂u′i u′j ∂xk = −u′j u′k ∂U j ∂U i − u′i u′k − u′j (2Ω × u)i − u′i (2Ω × u)j ∂xk ∂xk ′2 ′2 ′ ′ 6. En d´eduire les ´equations de transport sur u′2 1 , u2 , u3 et u1 u2 . 7. Montrer que l’´equation sur l’´energie cin´etique turbulente kt ne fait pas apparaˆıtre l’acc´el´eration de Coriolis. Que peut-on dire du travail des forces de Coriolis ? 1 8. Int´egrer l’´equation sur u′1 u′2 , en distinguant les cas suivants : Ω = 0, 0 < Ω < S/2, Ω = S/2 et Ω > S/2. 9. Donner une interpr´etation physique a ` ces r´esultats, en consid´erant la rotation d’une particule fluide induit respectivement par le cisaillement moyen S et la rotation Ω. L’acc´el´eration absolue γ dans un rep`ere Galil´een R0 est donn´ee par : du γr = dt dΩ γ = γr + γe + γc avec γe = γ0 + × x + Ω × (Ω × x) dt γ c = 2Ω × u (1) o` u γ r est l’acc´el´eration relative dans le rep`ere non Galil´een R, γ e est l’acc´el´eration d’entraˆınement du rep`ere R par rapport au rep`ere R0 , et γ c est l’acc´el´eration de Coriolis. L’acc´el´eration du rep`ere R par rapport au rep`ere R0 est not´ee γ 0 , et Ω est la vitesse angulaire du rep`ere R par rapport au rep`ere R0 . On note u et x la vitesse et le d´eplacement dans le rep`ere non Galil´een R. x2 U 1 (x2 ) = Sx2 Ωx 3 x1 2
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