Exercice 10. (Orientations) Soit E un fibré vectoriel réel de rang r sur

TD 2
Exercice 10. (Orientations) Soit E un ﬁbr´e vectoriel r´eel de rang r sur une
vari´et´e X. Le ﬁbr´e en droites r´eel det E est le ﬁbr´e des r-formes multilin´eaires
altern´ees sur E ∗ . Il est trivial sur tout ouvert o`
u E l’est et ses “matrices” (ou
plutˆ
ot fonctions) de transition sont les det Mij , o`
u les Mij sont les matrices de
transition de E.
1. Montrer qu’un ﬁbr´e en droites r´eel de classe C k sur une vari´et´e compacte
X est trivial si et seulement si il admet un syst`eme de trivialisations tel
que les fonctions de transition gij soient > 0 sur Ui ∩ Uj .
2. Montrer que tout ﬁbr´e en droites r´eel sur Sn , n ≥ 2, est trivial (utiliser
l’exercice 8).
3. Construire un ﬁbr´e en droites r´eel non trivial sur S1 (utiliser l’exercice 8).
4. Montrer que le ﬁbr´e en droites det E est trivial si et seulement si il existe
un syst`eme de trivialisations
ϕi : E U i ∼
= Ui × Rr
tel que les matrices de transition sont `a d´eterminant > 0.
5. Montrer qu’un ﬁbr´e vectoriel complexe sur une vari´et´e compacte est, en
tant que ﬁbr´e vectoriel r´eel, naturellement orient´e.
6. Soit E un ﬁbr´e vectoriel de rang 2 sur une vari´et´e diﬀ´erentiable X compacte. Montrer que E admet
∧2 une structure complexe si et seulement si E
est orientable, c’est-`a-dire
E est trivial.
7. Montrer qu’une vari´et´e complexe est orientable (et mˆeme naturellement
orient´ee).
Exercice 11.
1. Soit f une fonction holomorphe sur le disque unit´e D ⊂ C
(et s’´etendant diﬀ´erentiablement au bord du disque, c’est-`a-dire le cercle
de rayon 1. Montrer la formule
∫
1
f (ζ)
′
f (z) =
dζ.
2ιπ |ζ|=1 (z − ζ)2
2. En d´eduire que si |f | est comme ci-dessus et born´ee par M sur ∂D, |f ′ |
est born´ee sur D1/2 par une constante qui ne d´epend que de M .
3. Soit B une boule ouverte de Cn de rayon 1 + ϵ et B ′ ⊂ B, une boule
ouverte de rayon 1. Montrer que l’application de restriction
H 0 (B, OB )b → H 0 (B ′ , OB ′ )b
est compacte, o`
u l’on met sur ces espaces la norme sup.
b
(Ici, l’indice signiﬁe qu’on consid`ere les espaces de fonctions holomorphes
born´ees.)
3
4. En d´eduire que si X est une vari´et´e complexe compacte et E est un ﬁbr´e
vectoriel holomorphe sur X, l’espace vectoriel complexe H 0 (X, E) est de
dimension ﬁnie.
Exercice 12. Soit X une vari´et´e complexe compacte de dimension n. Soit
η ∈ H 0 (X, ΩnX ) une n-forme holomorphe non nulle sur X.
1. Montrer que dη = 0.
∫
2. Montrer que X η ∧ η ̸= 0.
3. En d´eduire que η a une classe de cohomologie non nulle dans H n (X, C).
4. Montrer que si α ∈ H 0 (X, Ωn−1
X ), on a dα = 0.
Exercice 13. Soit X une vari´et´e compacte connexe de dimension 2 et soit
E → X un ﬁbr´e vectoriel complexe de rang r.
1. Montrer que si r > 1, il existe une section de E partout non nulle.
2. En d´eduire que E = E ′ ⊕ T , o`
u T = X × R est le ﬁbr´e trivial de rang 1,
et E ′ est un ﬁbr´e vectoriel complexe de rang r − 1. (On montrera d’abord
l’existence d’une m´etrique hermitienne sur tout ﬁbr´e vectoriel complexe
sur une vari´et´e compacte.)
3. Conclure que E est d´etermin´e par son d´eterminant det E (qui est un ﬁbr´e
en droites complexe de rang 1).
4. En d´eduire que les ﬁbr´es vectoriels complexes diﬀ´erentiables sur S2 sont
classiﬁ´es par leur rang et leur degr´e (voir TD1, exercice 8).
Remarque. Ce dernier r´esultat est vrai plus g´en´eralement pour n’importe
quelle surface de Riemann compacte connexe orient´ee X. Il suﬃt de savoir que
les ﬁbr´es en droites complexes sur X sont classiﬁ´es par leur degr´e : voir chapitres
3 et 4 du cours.
Exercice 14.
1. Soit X une vari´et´e et soit η une forme diﬀ´erentielle ferm´ee
d
sur X × [0, 1]. Soit ηt la restriction de η `a X × {t}. Montrer que dt
ηt est
exacte.
2. En d´eduire que la classe de cohomologie de de Rham de ηt est constante.
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