dpx, tq € X ¢I §§§§ff » » °n¡1 ¹ ¹ - PCSI

DEVOIR MAISON n˚4
Pour le 03/11/14
Les calculatrices de sont pas autoris´ees.
Le sujet comporte des questions pr´eliminaires et un probl`eme de quatre parties num´erot´ees A, B, C et D.
Les parties B et C du probl`eme sont ind´ependantes de la partie A.
Le th´eor`eme ci-dessous n’a pas encore ´et´e d´emontr´e en cours mais vous devrez l’admettre et vous en
servir pour la question A.5. du probl`eme.
Th´
eor`
eme (D´erivabilit´e d’une fonction d´efinie par une int´egrale).
Soit f : px, tq ÞÑ f px, tq une fonction de X
I dans K.
Bf sur X et si :
On suppose que f admet une d´eriv´ee partielle
Bx
@x P X fix´e, t ÞÑ f px, tq est cpmx et int´egrable sur J ;
@x P X fix´e, t ÞÑ BBfx est cpmx sur I ;
@t P I fix´e, x ÞÑ BBfx est continue sur X ;
il existe une fonction ϕ, cpmx, int´egrable sur I telle que :
Bf
@px, tq P X I Bx px, tq ¤ ϕptq (hypoth`ese de domination)
Alors la fonction g : x ÞÑ
»
J
f px, tq dt est d´efinie et de classe C 1 sur X et, pour tout x de I :
F 1 px q »
Bf px, tq dt
J Bx
`
PROBLEME
- Deux calculs d’une mˆ
eme int´
egrale
Sujet E3A - PSI
L’ensemble des polynˆ
omes `
a coefficients complexes est not´e CrX s.
Soit n ¡ 2 un entier. On note Mn pCq l’ensemble des matrices carr´ees de taille n `a coefficients complexes.
Pour toute matrice M P Mn pCq, on note detpM q le d´eterminant de M . On note χM pX q detpM XIn q
le polynˆome caract´eristique de M (In d´esignant la matrice identit´e d’ordre n).
2iπ
2iπ
On note ω le nombre complexe e n . Autant que possible, on pr´ef´erera ´ecrire ω plutˆot que e n .
Questions pr´
eliminaires d’application directe du cours.
Les r´esultats de ces questions seront utilis´ees dans les parties B et C du probl`eme.
Q.1. a. Expliciter, sans justification, l’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e `a l’aide de ω.
b. Factoriser, sans justification, le polynˆome X n 1 comme produit de polynˆomes irr´eductibles dans
CrX s.
° 1 rk
c. Soit r P Z. Montrer que, selon la valeur de r, la somme kn
est ´egale soit `a 0 soit `a n.
0ω
Q.2. Soit M une matrice diagonalisable de Mn pCq et λ0 , . . . , λn1 ses valeurs propres non n´ecessairement
distinctes. Chaque valeur propre est ´ecrite autant de fois que son ordre de multiplicit´e.
a. D´emontrer que detpM q n
¹1
λk .
k 0
b. Soient λ une valeur propre de M et V un vecteur propre associ´e. Montrer que pour tout entier
naturel `, le vecteur V est un vecteur propre de M ` associ´e `a la valeur propre λ` .
c. Montrer que, pour tout polynˆ
ome p P CrX s, la matrice ppM q est diagonalisable.
d. D´eduire des questions pr´ec´edentes que, pour tout polynˆome p P CrX s, on a detpppM qq n
¹1
ppλk q.
k 0
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Probl`
eme.
Partie A.
1. Soit λ un r´eel strictement positif. Calculer la valeur de l’int´egrale
8
»
1
u2
0
1
u2
λ
du
λ2
apr`es en avoir justifi´e l’existence.
2. Pour tous r´eels x et t, calculer le module |1 xeit | du nombre complexe 1 xeit .
3. Montrer que si x Ps 1, 1r, alors l’int´egrale
On note h la fonction de
»π
lnp1 2x cosptq
s 1 1r dans R d´efinie par
hpxq »π
0
0
lnp1 2x cosptq
x2 q dt existe.
x2 q dt
4. A l’aide d’un changement de variable, montrer que la fonction h est paire.
5. Montrer que la fonction h est de classe C 1 sur r0, 1r.
6. Montrer que pour tout r´eel x Ps 1, 1r et x 0, on a les deux ´egalit´es
»π
0
x cosptq
dt
1 2x cosptq x2
»
8
u2 λ
du
x 1 0 p
λ2 qpu2 1q
» 8
1
1
λ
du
x 0
u2 1 u2 λ2
2
u2
o`
u l’on a pos´e λ 11xx .
On pourra utiliser, en le justifiant, le changement de variable u tan
7. D´emontrer que h est de classe
et de hpxq.
C1
sur
t
2
.
s 1, 1r et donner, pour tout x Ps 1, 1r, une expression de h1pxq
Partie B.
1. Soit a un nombre complexe. On consid`ere la matrice A P Mn pCq d´efinie par A pγi,j q1¤i,j ¤n o`
u
$
& 1
γi,j
% aji
anpij q
si i j
si i j
si i ¡ j
c’est `a dire A 1
an1
an2
.
..
a
D´emontrer que l’on a detpAq p1 an qn1 .
On pourra utiliser les op´erations ´el´ementaires Cj
2`
a n.
a
1
an1
..
.
a2
a
1
..
.
a2
...
...
...
...
..
.
an1
an1
an2
an3
..
.
1
Ð Cj aj1C1 sur les colonnes, pour j variant de
2. Soient E un C-espace vectoriel de dimension n et B pes q1¤s¤n une base de E. On d´efinit l’endomorphisme u de E par
upe1 q en et upes q es1 si 2 ¤ s ¤ n
´
a. Ecrire
la matrice U de u relativement `a la base B.
b. Montrer que le polynˆ
ome caract´eristique χU de U est donn´e par
χU pX q p1qn pX n 1q
c. Pr´eciser les valeurs propres de U . La matrice U de Mn pCq est-elle diagonalisable ?
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3. Soit le n-uplet α pα0 , α1 , . . . , αn1 q P Cn . On lui associe la matrice de Mn pCq donn´ee par
Cα
pci,j q1¤i,j¤n α0
α1
α2
αn1 α0
α1
αn2 αn1 α0
..
..
..
.
.
.
α1
α2 . . .
Ses coefficients sont pr´ecis´ement d´efinis par ci,j
°n1
"
k
αk U .
...
...
...
..
.
αn1
αn2
αn3
..
.
αn1
α0
α j i
si i ¤ j
. On admettra que Cα
αnpij q sii ¡ j
k 0
Montrer que Cα est diagonalisable.
4. Montrer que les valeurs propres de Cα sont les nombres complexes q pω ` q o`
u q pX q
` P t0, 1, . . . , n 1u.
°kn01 αk X k et
Partie C.
Soit ϕ une fonction d´efinie sur R `
a valeurs dans C. On consid`ere la matrice Γϕ
o`
u α pα0 , . . . , αn1 q P Cn avec
αk
1.
n1 1 ¸
2sπ
ω ks pour k
ϕ
n s0
n
a. V´erifier que les valeurs propres de Γϕ sont les
λ`
1 ¸
n k 0
n 1
n¸1
ϕ
s 0
2sπ
n
ω ks
P MnpCq telle que Γϕ Cα
P t0, 1, . . . , n 1u
ω kl o`
u 0¤`¤n1
b. En d´eduire, en utilisant la question
1.c des questions pr´eliminaires, que pour tout entier `
t0, 1, . . . , n 1u, on a λ` ϕ 2`π
.
n
P
±
c. Montrer que l’on a detpΓϕ q n`01 ϕ 2`π
n .
1an
2. Dans cette question, on pose ϕptq 1aeit u
` a P C avec |a| 1.
a. Justifier que ϕ est bien d´efinie sur R.
°n1 ` s`
`0 a ω .
b. V´erifier que l’on a ϕ 2sπ
n
c. D´emontrer qu’alors Γϕ est ´egale `
a la matrice A de la question B.1.
Partie D.
1. Soit F une fonction continue sur r0, 2π s. Justifier l’´egalit´e suivante
»
n1
1 ¸
2`π
1 2π
lim
F
F ptq dt
nÑ 8 n
n
2π
0
`0
2. Dans cette question, on consid`ere que a est r´eel et que |a| 1 et on pose
F ptq 1
ln it
1 ae a. V´erifier que la fonction F est d´efinie et continue sur r0, 2π s.
b. A l’aide de la partie C, montrer que, pour tout a Ps 1, 1r, on a
1
2π
» 2π
0
1
dt
ln it
1 ae nÑlim8 ln
pdetpAqq1{n
1 an
o`
u A est la matrice de la question B.1.
c. Retrouver alors l’expression de hpxq obtenue `a la question A.7.
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