解析学 I 第 1 回略解 [1-1] ともに区間 [0, 2) に一致するので等しい． [ ∞ [ ∪ 1 0, 2 − n （担当：日野） ] = [0, 2) を示そう．任意の n に対して ] 1 ⊂ [0, 2) だから左辺 ⊂ 右辺が成り立つ．また，x ∈ [0, 2) を任意に取るとき，十分大 n きな自然数 n を取ると x < 2 − 1/n，特に x ∈ [0, 2 − 1/n] となる．従って左辺 ⊃ 右辺が成り立 ) ∞ [ ∪ 1 つ． 0, 2 − = [0, 2) についても同様． n n=1 n=1 0, 2 − [1-2] 落ち着いて考えればできるので省略． [1-3] (1) lim An = lim An = ∅. n→∞ n→∞ (2) lim Bn = N, lim Bn = {1} ∪ { 素数の全体 }. n→∞ n→∞ ( [1-4] 正しいものは (1)(3)(4)．(1) の証明だけつけておく．y ∈ f x ∈ Aλ を用いて y = f (x) と表される ⇐⇒ y ∈ ∪ ) ⇐⇒ ある λ ∈ Λ とある Aλ λ∈Λ ∪ f (Aλ ). λ∈Λ [1-5] 開集合 O ⊂ Rd に対して AO = {I ∈ A | I ⊂ O} とおくとき，O = ∪ I であることを示そう． I∈AO x ∈ O を任意にとったとき，有理数 δ > 0 を十分小さくとると，x を中心とする一辺が δ の開立方体 C は O に含まれる．x の δ/4-近傍から有理点 y をとると，y を中心とする一辺が δ/2 の開立方体 D は AO の元で x ∈ D ⊂ C をみたす．特に x ∈ ∪ I∈AO I が成立する．従って O ⊂ ∪ I ．逆 I∈AO 向きの包含関係は自明である．以上