演習問題1

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 1
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
Report Problems レポート課題
※ レポートは自由提出です。レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) ∗ 印の付いた問題はチャレンジ問題 (ちょっと難しめの問題) です。勿論これらの問題を解かないでレ
ポート提出しても構いませんが、腕に自信のある人は是非チャレンジしてみて下さい。
(ⅳ) 提出期限は 9/30 (金) の講義時とします。レポートボックスは設けませんので、講義開始時に教卓へ
提出して下さい。
(ⅴ) If you are not good at writing Japanese sentences, you can draw up the report in English.
問題 1-1. (2 変数関数の極限Ⅰ)
以下の極限値が存在するかどうかを調べなさい。極限値が存在する場合にはその値を求め、極限値
が存在しない場合にはその理由を述べなさい。
x2 + 2xy − y 2
√
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
4x3 − 3y 3 − x2 − y 2
(3)
lim
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
(1)
lim
x3 y 2
(x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )2
(5)
lim
(2)
(4)
(6)∗
3x + y
(x,y)→(0,0) x − 2y
lim
lim
(x,y)→(0,0) x2
xy
+ y2
x3 − x2 − x + 2y 2 − 8y + 9
(x − 1)2 + (y − 2)2
(x,y)→(1,2)
lim
[ヒント] (講義の復習):
- 先ずは (x, y) を色々な方法で (a, b) に近づけてみて (例えば直線 y − b = m(x − a) に
沿って近づける等)、極限値の候補 α を求める (ここで違う値に収束するなら極限なし)。
-
lim
|f (x, y) − α| が (x, y) の近づけ方によらず 0 に収束することを証明する (この
(x,y)→(a,b)
際極座標変換が有用)。
- 極限値が存在しないものは 2 つだけです。
問題 1-2. (2 変数関数の極限Ⅱ)∗
2 変数関数 f (x, y) =
x5
について、以下の設問に答えなさい。
x3 + y
(1) xy 平面上の直線 y = mx (但し m は実数) に沿って (x, y) を (0, 0) に近づけたとき、m の値
によらず f (x, y) は 0 に収束することを証明しなさい。
(2) 極限値
lim
f (x, y) が存在しないことを証明しなさい。
(x,y)→(0,0)
[ヒント]
(2) 1 次関数ではなくもっと高次の関数 y = g(x) に沿って (0, 0) に近づけると、0 でない
値に収束させることが出来ます。
(例えば分母と分子が「一致する様に」巧く y = g(x) を選ぶと......?)

Download Report