グリーンの定理とケプラーの第２法則の導出問題媒介変数 t で位置が与えられた xy 平面上の動点 y P (x( t), y ( t)) において．原点を O (0, 0) とし， t が P(x(t + ∆t), y (t + ∆t)) t + ∆t に変化する場合に線分 OP が xy 平面上を掃く領 ∆S 域の面積 ∆S は， ∆t が十分に小さい場合には，図のよ P(x(t), y (t)) うに三角形の面積として近似できる． x (1) このことから，面積速度 dS ∆S = lim が ∆ t→ 0 ∆ t dt O  dS 1 dy ( t) dx( t) = x( t) − y ( t)  dt 2 dt dt と表せることを示せ．ただし，線分 OP が反時計回りに動く場合を ∆S の正に選ぶものとする．媒介変数 t を時刻とし，動点 P を質量 m の質点と見なす． y この質点に働く力は，常に直線 OP に平行であるとする．こ f のような定点向きの力を中心力と呼ぶ． y m (2) 力の大きさを f とし，中心力作用下では面積速度が一定となることを Newton の運動方程式を用いて示せ．解 x O x 答 (1) ∆S は三角形の面積として， ∆S ≐ 1 ( x ( t ) y ( t + ∆ t ) − x ( t + ∆ t )y ( t ) ) 2 と書ける．ただし，線分 OP が反時計回りに動く場合を ∆S の正に選んだ．補正項 x(t)y (t) を用意して，導関数の定義を用いれば ⇒  ∆S 1 y ( t + ∆ t) − y ( t) x( t + ∆ t ) − x ( t) ≐ x( t) − y ( t)  ∆t 2 ∆t ∆t  ∆S 1 y ( t + ∆t ) − y ( t ) x( t + ∆ t) − x ( t) lim = x( t) lim − lim y ( t) ∆t → 0 ∆ t ∆t→0 ∆ t→ 0  2 ∆t ∆t ⇔  dS dy ( t) dx( t) 1 = x( t) − y ( t)  dt 2 dt dt dr  dx dy  参考位置ベクトルを r = (x , y ) とすれば，速度の定義 v = =  ,  より，  dt dt  dt dS 面積速度は，位置ベクトル r と速度ベクトル v の挟む三角形の面積である． dt y y v v 等しい dS dt dS dt r r x x O O (2) 中心力の x ， y 各成分は f x x2 + y2 ，f y x2 + y2 と表せる．よって， x ， y 各成分についての Newton の運動方程式は， m ここで，面積速度 d 2x = f dt 2 x 2 x +y 2 ， m d 2y = f dt 2 y 2 x + y2 dS の時間変化率は，積の微分法に注意して dt  1  dx dy d 2y d 2x dx dy   y  =  +x 2 − 2 y −  dt dt dt dt  2  dt dt d 2y d 2 x  − y dt 2 dt 2  d 2S 1 d  dy dx − x 2 =  dt dt 2 dt  dt = 1  x 2  d 2S dS と書き換えられるから，運動方程式から 2 = 0 を得る．ゆえに面積速度は一 dt dt 定である．まとめ：グリーンの定理とケプラーの第２法則天体の運動でなくとも，力が逆２乗則に従わずとも，平面上で及ぼされる力が常に定点を向く力であれば，ケプラーの第２法則（面積速度一定則）は成立する．