2015 慶應義塾大学 理工学部 数学 解答例
1
(1) (2) (ア)
(イ)
(ウ)
1
2
1 a2 − a
2
− 1 a2 − 1
2
4
(エ)
2
(3) (オ)
√
3 3
(カ)
√
16 π 2 − 9 3 π
3
2
2
(1) (2) (3) (キ)
a − 1, a, a + 1
(ク)
√
2
(ケ)
−2
(コ)
0
x − a|x − a|x − a = x − a
······⃝
1
もとの命題の対偶である「a = 0 ならば方程式⃝
1 の実数解の個数が無限である」を示す．
a = 0 のとき，⃝
1は
|x| = x
と変形でき，方程式⃝
1 の解は
0 以上のすべての実数
となるので，対偶は示された．よって，もとの命題も示された．
3
(1) (サ)
0
rn+1 は長さ rn の閉区間から長さ θn+1 rn の開区間を取り除き，長さの等しい閉区間として残
された 2 つのうちの 1 つの閉区間の長さなので
rn+1 =
rn − θn+1 rn
2
(n = 1，2，3，· · · · · · )
となる．0 < θn+1 < 1 に注意すると
1 − θn+1
rn
2
1
≦ rn
(n = 1，2，3，· · · · · · )
2
rn+1 =
が成り立つから，この不等式を繰り返し用いて
rn ≦
1
1
r1 ≦ n−1
2n−1
2
(n = 1，2，3，· · · · · · )
が得られる．
lim
n→∞
1
=0
2n−1
より，はさみうちの原理から
lim rn = 0:
n→∞
となる．
(シ)
(2) 1
3
kn+1 は kn 個の各閉区間から開区間を取り除き，長さの等しい閉区間として残された 2 個ず
つの閉区間の総数なので
kn+1 = 2kn
(n = 1，2，3，· · · · · · )
となる．(1) も用いると
sn+1 = kn+1 rn+1
1 − θn+1
rn
2
= (1 − θn+1 )sn
= 2kn ·
=
(n + 1)(n + 4)
sn
(n + 2)(n + 3)
(n = 1，2，3，· · · · · · )
となる．これは
n+2
n+1
sn+1 =
sn
(n = 1，2，3，· · · · · · )
n+4
n+3
{
}
1
n+1
1+1
sn は初項
s1 = の定数列である．よって，
と変形できるので，数列
n+3
1+3
3
n+1
1
sn =
n+3
3
より
sn =
n+3 1
·
n+1 3
(n = 1，2，3，· · · · · · )
となる．したがって，
3
1
n · 1
lim sn = lim
=
1 3 3
n→∞
n→∞
:
1+
n
1+
となる．
(3) (ス)
(セ)
1
n
(1 − θ)
2
4
(ソ)
(−6, 0, 3)
(タ)
√
√ )
(√
5, −2 5, 2 5
(チ)
√
√ )
(√
5 − 4, 5 − 2 5, 7 + 2 5
5
(ナ)
(1) (2) k+2
n+3
(ニ)
(ヌ)
(ネ)
1
5
4
n (n + 1) (n + 2)
2 (k + 1)
(n + 1) (n + 2)
(ノ)
(3) 2
3
(ハ)
(4) 1− 1
e
(ツ)
(テ)
30
√
30 + 21 5
(ト)
√
9 5
2
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