2016年度実解析第一・第二配布問題 (第11回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 11 回)
p
p
p
125 p ∈ [1,
∫ ∞) とする．∫fn ∈ L (µ) (n ∈ N) が f ∈ L (µ) に n → ∞ で L -収束すれば，
|fn |p dµ =
lim
n→∞
X
|f |p dµ となることを示せ．
X
126 µ を有限測度とする．また，1 ≤ p′ < p ≤ ∞ とする．
′
(1) Lp (µ) ⊂ Lp (µ) を示せ．
′
(2) fn ∈ Lp (µ) が f ∈ Lp (µ) に Lp -収束していれば，Lp -収束することを示せ．
127 p, p′ ∈ [1, ∞]，p′ < p とする．
′
(1) Lp (µ) ̸⊂ Lp (µ) となる (X, F, µ) の例を挙げよ．
′
(2) Lp (µ) ̸⊂ Lp (µ) となる (X, F, µ) の例を挙げよ．
′
(3) 集合として Lp (µ) = Lp (µ) となる (X, F, µ) の例を挙げよ．
128 µ を σ-有限とし，p, q ∈ (1, ∞) とする．Lp (µ) ∩ Lq (µ) は Lp (µ) で稠密なことを示せ．
129 C0 (R) := {f ∈ C(R) | ある R > 0 で，f |[−R,R]c = 0} とする．また p ∈ [1, ∞) とする．C0 (R)
は Lp (m1 ) で稠密なことを示せ．
130 p ∈ [1, ∞] とする．fn ∈ Lp (µ) (n ∈ N) が f ∈ Lp (µ) に Lp -収束するならば，(fn )n∈N は f に測
度収束することを示せ．
131 可測関数列 (fn )n∈N が f に測度収束するならば，部分列 (fnk )k∈N で f に概収束するものが存在
することを示せ．
ϕ(x)
132 * f ∈ L1 (µ), f ≥ 0 とする．このとき，単調増加関数 ϕ : R → R で lim
= ∞ および
x→∞ x
∫
ϕ(f ) dµ < ∞ をみたすものが存在することを示せ．
X
(∫
133 f ≥ 0 とする． lim
p→∞
)1/p
f dµ
= esssup f を示せ．
p
X
134 * µ を確率測度とする．正値可測関数 f : X → (0, ∞) に対して，次を示せ：
{∫
lim
p↓0
(∫
}1/p
p
)
= exp
f dµ
log f dµ .
X
X
n
∑
1
135 n ∈ N とし，p1 , p2 , . . . pn ∈ (1, ∞),
= 1 とする．fi ∈ Lpi (µ) (i = 1, . . . , n) のとき，
p
i
i=1
∏n
1
f
∈
L
(µ)
および次の不等式を示せ：
i=1 i
∫ ∏
n
n
∏
∥f ∥pi .
fi dµ ≤
X
i=1
i=1
22
∫
∫
136 fn ∈ L (µ) (n ∈ N ∪ {∞}) とする．各 g ∈ L (µ) で
2
fn g dµ →
2
X
f∞ g dµ (n → ∞) かつ
X
lim ∥fn ∥2 = ∥f∞ ∥2 であれば，(fn )n∈N は f∞ に L2 -収束することを示せ．
n→∞
137 X = N, F = 2N , µ を個数測度とする．fn ∈ L2 (µ) (n ∈ N) で，sup ∥fn ∥2 < ∞ であれば，ある
n∈N
∫
∫
2
2
f ∈ L (µ) で，各 g ∈ L (µ) に対して
fn g dµ →
f g dµ (n → ∞) が成り立つものが存在す
X
X
ることを示せ (注：実際には，一般の (X, F, µ) で成り立つ)．
138 f ∈ Lp (µ), g ∈ Lq (µ) とし，f ̸= 0, g ̸= 0 とする．|f |p = α|g|q となる定数 α > 0 が存在するこ
とが，Hölder の不等式 ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥p ∥g∥q で等号が成立するための必要十分条件であることを
示せ．
139
(1) p ∈ (1, ∞) とする．f, g ∈ Lp (µ) について，∥f + g∥p = ∥f ∥p + ∥g∥p であれば，αf + βg = 0
となる α, β ∈ R が存在することを示せ．
(2) p = 1, ∞ それぞれについて，(1) の主張が成立しない例を挙げよ．
140 p ∈ [1, ∞) とし，fn ∈ Lp (n ∈ N) とする．
∞
∑
n
∑
∥fk ∥p < ∞ であれば，
fk は n → ∞ で Lp -収
k=1
k=1
束することを示せ．
{
}
∞
∑
141 * ℓ2 := (an )n∈N an ∈ R,
|an |2 < ∞ とおく．
n=1
(1) ℓ2 はベクトル空間であることを示せ．
(2) a = (an )n∈N , b = (bn )n∈N ∈ ℓ2 に対して，d(a, b) :=
(
∑
)1/2
|an − bn |2
と定める．d は ℓ2
n∈N
上の距離となることを示せ．
(3) X = ℓ2 , F = B(ℓ2 ) とする (このとき， 40 と同様にして，各 A ∈ F, x ∈ X に対して
x + A ∈ F となる)．また，(X, F) 上の測度 µ が µ(x + A) = µ(A) を全ての x ∈ X, A ∈ F
でみたすとする．このとき，任意の A ∈ F , A ̸= ∅ で µ(A) = ∞ となることを示せ．
23

Download Report