2005 年度 基礎数学ワークブック番外編「確率分布」
− 41 −
< 乱歩の極限 >
前ページの乱歩 Sn =
n
X
k=1
2
Xk に対し、X1 , X2 , · · · , Xn は独立で同分布な確率変数で
E[Xk ] = 0, E[(Xk ) ] = 1 より、
2
E[Sn ] = 0 , E[Sn ] = n
が成り立つ。さらに次の定理が成り立つ。
定理 17 任意の正数 C > 0 に対し、次の極限式が成立する。
(1) lim P (|Sn | 5 C) = 0
n→∞
(2) lim P (|Sn | 5 C · n) = 1
(大数の法則)
n→∞
√
(3) lim P (|Sn | 5 C n) =
n→∞
Z
C
−C
x2
1
√ e− 2 dx
2π
(中心極限定理)
(証明) (1) 略
(2) チェビシェフの不等式より
1
1
P (|Sn | = C · n) 5 2 2 E[Sn2 ] = 2 −→ 0 (n → ∞)
C n
C n
S
n
(3) Sn の標準化は Sn∗ = √ で、中心極限定理より
n
Z C
√
x2
1
∗
−
−
−
−
→
√ e− 2 dx
P (|Sn | 5 C n) = P (|Sn | 5 C) (n→∞)
2π
−C
(証明終)
[系] t > 0 とする。極限式
Snt
lim P (a < √ < b) =
n→∞
n
Z
b
a
√
1 − x2
e 2t dx
2πt
が任意の定数 a, b(a < b) に対し成立する。
問 中心極限定理を用いて系を証明せよ。

解析学 I 第 1回 略解

xy 平面において, 直線 x=0 を L とし, 曲線 y=logx を C とする。さらに, L

1 - 統計数理研究所 学術研究リポジトリ[RISM]

インドネシアの家具はより台湾で盛り上がる

演習第6回

「イプシロン・デルタ論法完全攻略」 正誤表 1刷∼3刷 1刷∼2刷

正規分布の裾の評価 - 一橋大学商学部・大学院商学研究科

1 xfxen = + 2

定期試験の解答

解答PDFダウンロード

null

微分積分学II 第2回目レポート課題解答例

PDFファイル

微分の定義･性質はこちら

Document 7363490

媒介変数 t で位置が与えられた xy 平面上の動点 P ( ) ( ), ( ) xt yt

R2 にいれられる距離の例（by 山田）

Document 7407346

問題の解答例

解析学 I-2 (上岡) レポート課題 (2016-07-21)

解答例

演習12