演習第7回

解析学 I
第7回
（担当：日野）
以下では，有界閉区間上の連続関数に関して Riemann 積分と Lebesgue 測度に関する Lebesgue
積分の値が等しいことを自由に用いよ．
[7-1] Lebesgue の収束定理を用いて，次の極限を求めよ．
∫
5π/2
(1) lim
n→∞
0
∫
nx cos x
dx
1 + nx
100
(2) lim
n→∞
0
nx sin ex
dx
1 + (nx)2
[7-2] 測度空間 (X, M, µ) 上の可積分関数 f に対して，次の極限を求めよ．
∫
(1) lim
n→∞
(2) lim nµ({|f | ≥ n})
f dµ
n→∞
{|f |≥n}
[7-3] I = [0, ∞) とし，µ を (I, B(I)) 上の Lebesgue 測度*1 とする．f を I 上の実数値連続関数で
∫ R
∫ R
lim
|f (x)| dx < ∞ であるものとする．特にこのとき広義 Riemann 積分 lim
f (x) dx
R→∞
R→∞
0
0
が存在する．
(1) f は I 上で µ-可積分であることを示せ．
∫
∫ n
(2)
f (x) µ(dx) = lim
f (x) dx であることを示せ．（従って，この場合には f の広義
I
n→∞
0
Riemann 積分と Lebesgue 測度に関する Lebesgue 積分は一致する．このときの積分値を
∫ ∞
f (x) dx とも表す．）
0
[7-4] 前問の結果を利用して，次の極限を求めよ．
∫
∞
lim
n→∞
0
1
dx
1 + xn
[7-5]（時間の余った人向け）Borel–Cantelli の補題を，関数列 {1An }∞
n=1 に B. Levi の定理（系 4.4）を
適用することで示せ．
以上
*1
正確には (R, B(R)) 上の Lebesgue 測度を I に制限したもの

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