定期試験の解答

制御工学
試験問題（平成 26 年 7 月 22 日）
次のシステムについて以下の問題を解きなさい。
[
x˙ 1 (t)
x˙ 2 (t)
]
[
=
[
y =
][
−1
1
0 −2
]
[
1 0
x1 (t)
x2 (t)
x1 (t)
x2 (t)
]
[
+
]
[
;
0
1
x1 (0)
x2 (0)
]
u(t),
]
[
=
0
0
]
1. システムの可制御性と可観測性を求めよ。（10 点）
[
Uc =
[
Uo =
0
1
1 −2
1 0
−1 1
]
, |Uc | = −1 → 可制御
]
, |Uo | = 1 → 可観測
2. 伝達関数を計算せよ。（20 点）
−1⃗
G(s) = ⃗c(sI − A) b =
G(s) =
s2
[
]
1 0
[
s+1
−1
0 s+2
]−1 [
0
1
]
1
+ 3s + 2
3. 単位フィードバックに対して、定常偏差を求めよ。ただし、U (s) = 1/s とする。（20 点）
1
1
s→0 1 + G(s) s
1
1
= lim
=
1
s→0 1 + 2
1+
s +3s+2
2
e(∞) =
≈ 0.67
3
lim e(t) = e(∞) = lim s
t→∞
1
2
4. 上記システムの型を判定し、ランプ入力まで定常偏差なく追従させることを考え、必要なシス
テムの型について述べよ。（10 点）
上記のシステムは 0 型であるので、ランプ入力を誤差なしで追従のに 2 型システムが必要であ
る。本システムが 2 型になるために、分母に s2 をかける必要である。そのときに、ランプ入力
(1/s2 ) に対して、定常誤差は
1
1
1 + G(s) s2
1
1
1
=
= lim
s→0 1 + 2 2 1
s
∞
s (s +3s+2)
e(∞) = lim s
s→0
e(∞) = 0
5. Laplace 逆変換を用いて、システムの解 y(t) を求めよ。ただし、U (s) は単位ステップ入力とす
る。（20 点）
y(t) = L−1 {G(s)U (s)} = L−1
{
{
1
1
s2 }
+ 3s + 2 s
}
1
1
1
−
+
2s s + 1 2(s + 2
1
1
y(t) =
− e−t + e−2t
2
2
= L
−1
6. 極 µ1 = −8、µ2 = −10 を持つレギュレータを設計せよ。（20 点）
(a) システムの特性式および可制御正準形への変換行列 T および T −1 をもとめる。
|sI − A| = s2 + 3s + 2(= s2 + a2 s + a1 )
[
T = Uc W =
[
T
−1
=
1 0
−1 1
0
1
1 −2
][
]
3 1
1 0
]
[
=
1 0
1 1
]
(1)
(2)
(b) 与えられた極を持つシステムの特性方程式を求める。
(s + 8)(s + 10) = s2 + 18s + 80(= s2 + d2 s + d1 )
(c) (1), (2) および (3) より
f⃗ T =
=
=
=
[
[
d1 − a1 d2 − a2
80 − 2 18 − 3
[
]
78 15
[
]
63 15
[
]
]
[
1 0
−1 1
T −1
1 0
−1 1
]
]
(3)

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