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微分方程式レポート課題 No.3
出題 2016/6/29
提出期限 2016/7/13
提出場所理工学館 1 階事務室
e はネイピア数，log は自然対数を表すものとする．また，特に断りがない限り，任意の
f (t) に対して f ′ (t) =
df
dt
とし，変数 x(t), y(t), z(t) は x, y, z と表記する．問題 1 次の連立微分方程式の一般解を求めよ
(好きな方法で解いて構わない)．


x′ = −x + 2y
x′ = 4x + y
(2)
(1)
y ′ = −2x + y
y ′ = −3x



x′ = 2x − 2y



x′ = −6x + 2y + 4
′
(4)
(3)
y = x − 2y + 2z

y ′ = −3x − y + 6t


 ′
z = −3x + y − 4z

′



x = −y + z
x′ = −3x − 4y + 2et

(6) y ′ = −x + z
(5)
y ′ = 5x + 6y − 6et



 ′
z = x + y − 2z + 4 cosh t
問題 2 下図のような，起電力 V > 0 の電源と，各抵抗およびコイルをはしご型につない
だ回路を考える．時刻 t = 0 でスイッチを入れ，時刻 t(≥ 0) で AB に流れる電流
を I1 (t)，BC に流れる電流を I2 (t) としたとき，次の問いに答えよ．
(1) I1 , I2 が満たす初期値問題を書き下せ．
(2) R1 = 2R2 = R3 = 2R > 0, L1 = L2 = L > 0 とする．このとき，I1 (t), I2 (t)
を L, R, t を用いて表せ．
(3) (2) の条件の下で， lim I1 (t), lim I2 (t) を求めよ．
t→∞
t→∞
図1
回路図
問題 3(自由課題) 以下の問に答えよ．
(1) 以下の事項が成立することを示せ：
(i) 実対称行列の固有値は全て実数
(ii) 実対称行列の異なる固有ベクトルに対する固有ベクトルは直交する
(2) Gram-Schmidt(グラム-シュミット) の直交化法を用いて，ベクトル
 
 
 
1
1
2
−1 , 1 , 0
−2
0
1
から，R3 の正規直交基底 {e1 , e2 , e3 } を構成せよ．
(3) 連立微分方程式

′
t

x = 2x − y − 2z + e
y ′ = −x + 2y + 2z + et

 ′
z = −2x + 2y + 5z + 7t − 8
の一般解を行列の対角化を用いた方法で求めよ．
注意
• レポートには指定の表紙をつけ, ホチキスで留めて提出すること．
• 答えだけではなく，導出過程も合わせてしっかりと書くこと．
• レポートは相談して解いてもよい．他の人のレポートを丸写ししたものは不可．

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